note-math

纯量场的作用量

动能部分

\frac{1}{2} | grad ϕ |^{2}

\frac{1}{2} | \partial ϕ |^{2}

其中 $grad ϕ \leftrightarrow \partial ϕ$ by metric 对偶 $(\partial ϕ) (𝑋) = 𝑔 (grad ϕ, 𝑋)$

质量部分 $- \frac{1}{2} 𝑚^{2} | ϕ |^{2}$

Klein--Gordon-Lagrangian_(tag)

\int 𝑑 𝑥 (\frac{1}{2} | \partial ϕ |^{2} \mp \frac{1}{2} 𝑚^{2} | ϕ |^{2})

\int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (\frac{1}{2} (\partial ϕ^{*} \cdot \partial ϕ \mp 𝑚^{2} ϕ^{*} ϕ))

let δ diffeomorphism $Δ ϕ$ , let 作用量的微分是零

0 = Δ 𝑆 = \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 Re (\partial Δ ϕ^{*} \cdot \partial ϕ \mp 𝑚^{2} Δ ϕ^{*} ϕ)

product rule $\partial^{†} (Δ ϕ^{*} \partial ϕ) = \partial Δ ϕ^{*} \cdot \partial ϕ + Δ ϕ^{*} \partial^{†} \partial ϕ$

在坐标中 $\partial^{†} \partial ϕ = 𝑔^{𝜇 𝜈} \partial_{𝜇} \partial_{𝜈} ϕ$

$ℝ^{1, 3}$ δ diffeomorphism of field $Δ ϕ$ , 在边界是零 (边界 of $ℝ^{1, 3}$ i.e. 无穷远) 使得

\begin{matrix} \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 Re (\partial^{†} (Δ ϕ^{*} \partial ϕ)) & = & lim_{𝑟 \to \infty} \int_{ℚ^{1, 3} (\pm 𝑟)} (Δ ϕ^{*} \partial ϕ) \cdot 𝑛 \\ = & 0 \end{matrix}

作用量的微分

0 = - \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 Re Δ ϕ^{*} (\partial^{†} \partial ϕ \pm 𝑚^{2} ϕ)

for all $Δ ϕ$ , 从而给出 Lagrange-equation, 此处称为 Klein--Gordon-equation_(tag)

\partial^{†} \partial ϕ \pm 𝑚^{2} ϕ = 0

let $∆ = div grad = \partial^{†} \partial = \partial \partial^{†}$

massless
$∆ ϕ = 0$
massive
$(∆ \pm 𝑚^{2}) ϕ = 0$
mass term => $- \frac{1}{2} 𝑉 (| ϕ |^{2})$
$(∆ + 𝑉^{'}) ϕ = 0$

作用量使用了二次型 $| grad ϕ |^{2}$ 和 metric volume form $𝑑 Vol$

in $ℂ$ , $| grad ϕ |^{2} = {(grad ϕ)}^{†} grad ϕ$

对一般 scalar field action

\int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 𝐿 (ϕ, \partial_{𝑥} ϕ)

重复上述步骤

0 = Δ 𝑆 = \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (\frac{\partial 𝐿}{\partial ϕ} \cdot Δ ϕ + \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} Δ ϕ)

在坐标中 $\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} Δ ϕ = 𝑔^{𝜇 𝜈} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜇} ϕ)} \cdot \partial_{𝜈} Δ ϕ$

product rule

\partial_{𝑥}^{†} (\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot Δ ϕ) = (\partial_{𝑥}^{†} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)}) \cdot Δ ϕ + \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} Δ ϕ

在坐标中 $\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot Δ ϕ = {(\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜇} ϕ)} \cdot Δ ϕ)}_{𝜇 = 0, \dots, 3}$

散度量 + Stokes 定理 + 边界零 + forall $Δ ϕ$ , 收集 $Δ ϕ$ , 项得到 Lagrange-equation

\frac{\partial 𝐿}{\partial ϕ} - \partial_{𝑥}^{†} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} = 0

注意 $ℝ$ 值场不兼容于 $U (1, ℂ)$ gauge

平面波

周期
波长
4-波数
波速
- 无质量 ==> 波速 = 光速
- 有质量 ==> 波速 < 光速. 且波速不是 $SO (1, 3)$ invariant

Question motivation-of-plane-wave-solution_(tag)

平面波的动机? 启发自常系数线性 ODE 的解的 $exp$ 的出现, 特别是谐振子 eq $\frac{𝑑^{2} 𝑥}{𝑑 𝑡^{2}} \pm 𝜔^{2} 𝑥 = 0$ , 类似 #link(<harmonic-oscillator>)[谐振子] 的一阶化 $(\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \\ \frac{𝑑}{𝑑 𝑡} \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑣 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \mp 𝜔^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑣 \end{matrix})$ , 对 KG 方程

(\begin{matrix} \partial \\ \partial^{†} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 𝟙 \\ \mp 𝑚^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})

进行 #link(<exponential-of-vector-field>)[$exp$ 化] 或者 #link(<integral-curve>)[积分曲线]

三角情况

exp 𝑥 (\begin{matrix} - 𝟙 \\ \mp 𝑚^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} cos 𝑝 𝑥 & \frac{𝑝}{| 𝑝 |^{2}} sin 𝑝 𝑥 𝟙 \\ - 𝑝 sin 𝑝 𝑥 𝟙 & cos 𝑝 𝑥 \end{matrix})

where $| 𝑝 |^{2} = 𝑚^{2}$ , $\frac{𝑝}{| 𝑝 |^{2}}$ 代表二次型反演, 并且以内积作用在 $𝜓$

从而

ϕ_{𝑝} (𝑥) = ϕ (0) cos 𝑝 𝑥 + \frac{𝑝 \cdot 𝜓 (0)}{𝑚^{2}} sin 𝑝 𝑥

或者写为复指数的形式

\begin{matrix} ϕ (𝑥) & = & \frac{1}{2} (ϕ (0) - i \frac{𝑝 \cdot 𝜓 (0)}{𝑚^{2}}) 𝑒^{i 𝑝 𝑥} + \frac{1}{2} (ϕ (0) + i \frac{𝑝 \cdot 𝜓 (0)}{𝑚^{2}}) 𝑒^{- i 𝑝 𝑥} \\ ≕ & 𝑎 (𝑝, i) 𝑒^{i 𝑝 𝑥} + 𝑎 (𝑝, - i) 𝑒^{- i 𝑝 𝑥} \end{matrix}

双曲情况类似

linear-superposition-of-KG-eq_(tag)

平面波线性叠加也满足 scalar field eq

$𝑚 \neq 0$

在双曲面 ${𝑝^{2} = \pm 𝑚^{2}} = ℚ (1, 3) (\pm 𝑚^{2})$ 上积分叠加

metric & volume form 来自 $ℝ^{1, 3}$ 的限制

在 $+ 𝑚^{2}$ 的情况可以在三维类空双叶双曲面的一叶 ${ℍ 𝕪}^{3} = {𝑝^{2} = 𝑚^{2}, 𝑝_{0} > 0}$ 上进行, 因为另一叶可以通过收集系数 $𝑎 (𝑝, i) + 𝑎 (- 𝑝, - i)$ 得到等价于单叶

ϕ (𝑥) = \int_{\begin{matrix} {ℍ 𝕪}^{3} \\ 𝕊 (Im ℂ) \end{matrix}} 𝑑 𝑝 𝑑 i (𝑎 (𝑝, i) 𝑒^{𝑝 𝑥 i})

${\pm i} = 𝕊 (Im ℂ) = 𝕊^{0}$ . 对于 $ℍ, 𝕆$ 平面波大概需要考虑所有单位虚数元, 从而需要对 $𝕊 (Im ℍ) = 𝕊^{2}, 𝕊 (Im 𝕆) = 𝕊^{6}$ 积分?

对 $ℝ$ 值场, $𝑎 (𝑝, - i) = {𝑎 (𝑝, i)}^{*}$ , 并写为 ${𝑎 (𝑝)}^{*}$

给 $𝑎 (𝑝, i)$ 加上平方可积条件 ( $𝑝^{2} = 𝑚^{2}$ 上的积分), 且为了让 $ϕ$ 的一些导数也平方可积 (Sobolev) e.g. $\partial_{𝜇} ϕ$ , 通常会给 $𝑎 (𝑝, i)$ 再加上一些 "多项式乘法" 平方可积条件 e.g. $𝑝_{𝜇} i 𝑎 (𝑝, i)$

在简单的 "投影到 $ℝ^{3}$ 坐标" 上 (不是 $SO (1, 3)$ invariant 的), 用记号 $(𝑝_{0}, 𝑝) \in ℝ^{1, 3}$

ϕ (𝑥_{0}, 𝑥) = \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑝 \frac{1}{\sqrt{2 𝑝_{0}}} (𝑎 (𝑝, i) 𝑒^{𝑝_{0} 𝑥_{0} i} 𝑒^{- 𝑝 𝑥 i} + 𝑎 (𝑝, - i) 𝑒^{- 𝑝_{0} 𝑥_{0} i} 𝑒^{𝑝 𝑥 i})

with $𝑝_{0} = 𝑝_{0} (𝑝) = \sqrt{𝑚^{2} + 𝑝^{2}} > 0, 𝑎 (𝑝, i) = 𝑎 (𝑝_{0}, 𝑝, i)$

$𝑝^{2} = - 𝑚^{2}$ 并不能简单地 "投影" 到 $ℝ^{1, 2}$ , 本来就不是双射

$𝑚 = 0$

无法直接用子流形 metric volume form 因为 metric 是零. 是否能用

𝑚 \to 0

的极限? 用

𝑝_{0} (𝑚), 𝑝 (𝑚), 𝑎 (𝑚)

的某种极限?

unitary-representation-KG-field_(tag)

对于 $𝐿^{2}$ 叠加自由场场, 有 $𝐿^{2}$ 内积, 且 $SO (1, 3) ⋊ ℝ^{1, 3}$ invariant. 保持二次型蕴含保持内积

平移 $𝑥 \to 𝑥 + 𝑎$ 使得 $| 𝑎 (𝑝) exp (𝑝 𝑎 i) |^{2} = | 𝑎 (𝑝) |^{2}$

旋转 $(𝑝 \to Λ 𝑝) \in SO (1, 3)$ 是 $ℚ^{1, 3} (\pm 𝑚^{2})$ 的 isometry, 不改变积分

\int_{ℚ^{1, 3} (\pm 𝑚^{2})} 𝑑 Vol | 𝑎 (Λ 𝑝) |^{2} = \int_{ℚ^{1, 3} (\pm 𝑚^{2})} 𝑑 Vol | 𝑎 (𝑝) |^{2}

这被称为 Poincare 群 $SO (1, 3) ⋊ ℝ^{1, 3}$ 的 unitary representation, spin 0 part, $\pm 𝑚^{2} \in ℝ$

try-to-define-plane-wave-in-metric-manifold_(tag)

$(\begin{matrix} \partial \\ \partial^{†} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 𝟙 \\ \mp 𝑚^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ \\ 𝜓 \end{matrix})$ 的 $exp$ 化在流形上可以被推广吗? 注意这是无坐标的写法. 如果用坐标, 不是常系数 PDE. 无论是否常系数, 都可以尝试 exp 化

可以在对称空间 $ℚ^{1, 4} (- 1), ℚ^{2, 3} (1)$ 上被推广吗?

(δ) isometry 保持 $𝐿^{2}$ 叠加吗?

为构造粒子型波包, 先寻找静态解, 然后 boost

$ℝ^{1, 1}$ 时空, $ℝ$ 值纯量场 with potential $𝑉 (ϕ) = ϕ^{4}$ or $sin ϕ$ 给出了可能的多粒子波包模型? (Soliton type)

Question 无穷的困难

自由场 $| 𝑝, \pm i ⟩ = exp (\pm 𝑝 𝑥 i)$ 不可积, 所以不能代入到 Lagrangian 然后积分

一种可能不算那么令人满意的做法是, 只考虑差值的可积. 考虑 $| 𝑝 ⟩$ 周围的 $ϕ$ with $𝐿 (ϕ, \partial ϕ) - 𝐿 (| 𝑝, \pm i ⟩, \partial | 𝑝, \pm i ⟩)$ 可积, 且作用量在 $| 𝑝 ⟩$ 的微分是零

另一种方法, 先在有限区域积分, 然后取极限到无限区域