1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
  46. 37. Hopf 丛
  48. 场论
  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
  54. 43. 光锥射影
  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. logic-topic
  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
  75. 60. order
  76. 61. combinatorics
  78. calculus
  79. 62. real-numbers
  80. 63. limit-sequence
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean-space
  83. 66. Minkowski-space
  84. 67. polynomial
  85. 68. analytic-Euclidean
  86. 69. analytic-Minkowski
  87. 70. analytic-struct-operation
  88. 71. ordinary-differential-equation
  89. 72. volume
  90. 73. integral
  91. 74. divergence
  92. 75. limit-net
  93. 76. compact
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  95. 78. topology-struct-operation
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  99. geometry
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  111. 92. Hopf-bundle
  113. field-theory
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  115. 94. point-particle-relativity
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  117. 96. scalar-field-current
  118. 97. scalar-field-non-relativity
  119. 98. projective-lightcone
  120. 99. spacetime-momentum-spinor-representation
  121. 100. Lorentz-group
  122. 101. spinor-field
  123. 102. spinor-field-current
  124. 103. electromagnetic-field
  125. 104. Laplacian-of-tensor-field
  126. 105. Einstein-metric
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  128. 107. harmonic-oscillator-quantization
  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

[sectional-curvature]

根据 symmetry-of-curvature,

截面曲率是二次型 (可能退化) 限制在 方向空间 i.e. 限制在单位长度

curvature 可以恢复自 sectional-curvature. Proof 不需要非退化, 对称双线性可以恢复自二次型 quadratic-form

Prop

[constant-sectional-curvature] <==>

i.e. 曲率只有纯量部分且纯量曲率是常值

Proof

constant-sectional-curvature <==>

<==> 是零二次型

<==>

正交分解给出 with

[constant-sectional-curvature-imply-Einstein-metric]

Proof trace-free Ricci-curvature = 0

[constant-sectional-curvature-low-dimension]

  • ==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric = constant-scalar-curvature

  • ==> constant-sectional-curvature = Einstein-metric Proof 三维 + (Einstein <==> )

[quadratic-manifold] :=

where

[quadratic-manifold-is-constant-sectional-curvature] 二次型流形 有 constant-sectional-curvature

Proof

使用子流形技术. 子流形 上的点 在 有切空间与法空间

点的子流形测地线坐标 + 法空间作为流形 坐标

在此坐标在 点的 coordinate-frame orthonormal

拆开 tangent, normal,

曲率的 metric-dual

==>

的曲率是零

==>

二次型流形 co-dimension 1, 法空间 dimension 1, 法向场 with 单位法向场

所以

在 普通坐标在 点 且

==>

==>

宇宙常数

二次型流形中的 Lorentz 流形 有 "静态坐标", i.e. 在静态坐标中 metric 将是静态形式

  • 静态坐标 :=

分解到半径 + 双曲线 + 球面

坐标 with

metric 将是

  • 静态坐标 :=

分解到半径 + 球面 + 球面

坐标 with

metric 将是

的时间轴的行为存在 like. 而且存在 closed time-like geodesicm, 从而不 causal

"单叶双曲面" 的时间轴的行为是 like, 空间存在 like. 存在 closed space-like geodesic

可以 "时间切片" 化为 . 是 的微分同胚

metric

"可视化" 的例子: 中的 or , 单叶双曲面

虽然 类时测地线总是闭合的, 表现为椭圆, 但类时非测地线可以无限长度, 例如可以不断逼近类光测地线

类光测地线表现为 "抛物线" …