[affine-combination]
仿射组合
是良定义的仿射点, 或者说坐标定义不依赖于原点的选择. 设 的坐标是 . 换原点
关于直觉, 最简单的例子是两点直线的比例点
可以逐次迭代 or 分解 e.g. 三角形 . 且分解操作可交换. 且可以分解为多个 阶的
[affine-coordinate] 可以认为是基于点 的一种坐标. 仿射坐标. alias 重心坐标 [barycentric-coordinate]
[affine-independent]
仿射无关 := 不能表示为
仿射无关将对应到选取其中一个点 e.g. 为原点后的 的线性无关
如果是仿射无关, 则顶点对应
维仿射空间最多 仿射无关的点
对于 维仿射空间 的 仿射无关点的坐标, 一一对应 的仿射点
如果是 , 虽然此时坐标 不会因换原点而改变, 但不是仿射点
[affine-map-point-ver] alias [simplicial-map] 设 是另一个仿射空间的点. 仿射映射由 决定, 其它点的情况可以由它们通过仿射同态生成得到
[center-of-affine-point-set] 的中心点是
[convex-hull] := 额外
[simplex] := 由仿射无关的点构成的 convex hull
[parallelogram] 平行体由于对称性, 可以从 点 convex hull 描述简化为 点描述, 在选取原点后
[parallelogram-simplex-correspond]
平行体可以 分解为 个平移反射等价的 simplex
点的 排列
对应 simplex
with
反过来一个 simplex 也给出很多以其为 块 simplex 其中一块的平行体
这两种东西给出的结构强度是差不多的
[volume-of-parallelogram] 对于 的体积假设
- 平移不变
- 反射不变 (无向体积)
- 有限 -> 体积有限
- 如果 不是线性无关, 则在低维的子空间, 从而 阶体积定义为零
[volume-of-simplex] is of volume-of-parallelogram
[shear-transformation] 平行体分解成 simplex 之后, 切割与平移, 形成新的同体积平行体. 称为剪切变换. e.g.
(image from p.587 of ref-3)
剪切变换体积不变在代数上是 e.g. or
边的 伸缩. e.g.
平行体的伸缩剪切对应到 分解到初等线性变换, 也是 Gauss 消元法所用的 (尽管它们可以用于 矩阵)
[volume-determinant] 平行体 的体积变化
选取 的一个基 , 以其生成的平行体体积为 , 其它平行体 的体积是
这是有向体积. 平行体的集合没变所以绝对体积没变, 但是 和 方向相反
有向体积 = 无向体积 + 计算方向因子
线性相关 ==> 在低维子空间 ==> 零体积. 此时可以将 拓展到 , 并且零体积在代数上对应到
对于 的 阶平行体和 simplex
将平行体对应到 的 阶交错张量 的可分解元素
[try-to-define-volume-of-low-dim] 如何定义低维体积? 考虑两种方法. 类似于一次型 vs 二次型. 第一种类似对 定义 or , 第二种类似于定义 or
- 的一个基给出一个交错张量空间的基
用它来定义体积: 对每个 , 一个特殊的交错 重线性函数 or 的 form , 定义为 , forall
所以对于一般平行体 体积就是
非零可分解交错张量的体积可能是零, 使得 . 阶的剪切变换在 阶不成立
Question 选取了特殊的基, 所以怎么样的其它基有相同的结果? or 保持体积不变的线性子群是什么?
并不保持 维体积. e.g. or 不保持 维体积
保持所有阶体积的 满足, for for , , or
Example ( th 列的元素相加). 和 的情况类似, i.e. 对应到其余子式
(余子式是 的 交错张量分解表示所用到的, 可以推广到 的 交错张量分解表示 or Laplace expansion)
Example
的保持所有体积的 满足
解的一种坐标表示
是 的经过 的一条仿射直线. or 不是其子集
- 选取一个非退化二次型
导出 交错空间的二次型 . 无向体积 or . 根据规范正交基及其系数 , 写成标准二次型
<==> 体积零
在非 Euclidean 情况, light-like 会造成影响
不同 signature 的体积定义会对 阶的相同集合不同
两种体积的定义对 重合
[convex-hull-decomposition] convex hull 最优分解到 simplex, 方式非唯一. 麻烦的组合问题
Example
的 个点
的 个点. 先选取 simplex, 即选取 个顶点
找出哪些 simplex 组合是 convex hull 的分解
convex hull 的交集是 convex hull
Example
simplex 的减集可能不是 convex hull. 但仍然可以分解到 simplex
Example
[polyhedra] 多面体 :=
n simplex 有限并 with
- 内部不相交
- 两个 n simplex 之间传递连通
- 传递边界是 n-1 simplex
传递边界的维数是为了让多面体有最好的连通性
[low-dim-polyhedra] 低维子多面体. 作为一种类似子流形的设置? i.e. 维里 边界的相邻的 simplex 只有两个 -> 分段嵌入到 . 若不然, 考虑例子三接边界
可数推广 -> 可数多面体
[polyhedra-measurable]
多面体可测集 . 用可数多面体 逼近, 对称差 用可数 simplex 覆盖作为测度估计误差
集合 定义距离 (ref-12)
可测集 :=
集合 到 "原点" 的距离 and
如果 则
Proof by
注意, 这种可测集有好的连通性. 在一维中只有区间, 排除了 Smith–Volterra–Cantor 集等. 多面体可测集的并集等操作也受到限制
[Lebesgue-measurable] 如果不使用传递连通, 则得到一般可测集的定义. alias: Lebesgue 可测集. 存在不可测集
[Lebesgue-measure]
集合对称差满足
对应三角不等式
Proof
by
另一边类似
三角不等式
对多面体 with 有限体积 and
唯一极限
得到有限测度的定义. 无限测度的定义来自有限测度的可数逼近, 或 技术
[try-to-define-low-dim-measure] 尝试定义 的 维可测集. 由于 区域的 codimension , 所以显然不能用集合差和 simplex 覆盖作为测度估计误差来逼近一般的 " 维集合"
[pathologic-example-measure-of-boundary]
用 Euclidean metric 结构可以定义一些低维可测集, 但还是有病态例子 (暂时忽略细节, 自行 wiki)
- 油漆悖论. 测度有限但边界的测度无限. 使用了无界区域
- Koch 雪花. 测度有限但边界的测度不可定义 or 无限. 使用了处处不可微的边界
逼近 体积但是边界体积不逼近的例子
- Schwarz 灯笼
- 无限楼梯逼近三角形斜边 or 圆 ( ) or 只要大幅法向振荡,
[measure-theoretic-boundary]
测度论边界. 维数 — 某种上确界 — 可能不是自然数而是实数
对多面体可测集, 直觉上, 边界 = 可测集的零测集 quotient 中的最大减最小
对一般可测集, 直觉上, 边界 =
where 指相对于任何一个 为中心的 simplex 的整体伸缩到零
or 边界 = 不是内部或外部. 内部 = 极限 , 外部 = 极限
Lebesgue differentiation theorem 说, 边界的测度是零
- 矩形的边的区间分割给出矩形 product 式分割
- simplex 中心连接到 个点有 种方式, 将一个 simplex 分割到 个 sub simplex
- 或者用边界所有低维 simplex 的中点
