note-math

affine-combination_(tag)

仿射组合

\begin{matrix} \sum_{0 . . 𝑁} 𝑡_{𝑖} \cdot 𝑥_{𝑖} \\ 𝑡_{0}, \dots, 𝑡_{𝑁} \in ℝ, \sum_{0 . . 𝑁} 𝑡_{𝑖} = 1 \end{matrix}

是良定义的仿射点, 或者说坐标定义不依赖于原点的选择. 设 $𝑥_{𝑖}$ 的坐标是 $𝑣_{𝑖}$ . 换原点 $𝑣_{𝑖^{'}} = 𝑣_{𝑖} + Δ$

\sum 𝑡_{𝑖} (𝑣_{𝑖} + Δ) = (\sum 𝑡_{𝑖} 𝑣_{𝑖}) + (\sum 𝑡_{𝑖}) Δ = (\sum 𝑡_{𝑖} 𝑣_{𝑖}) + Δ

关于直觉, 最简单的例子是两点直线的比例点

可以逐次迭代 or 分解 e.g. 三角形 $𝑡_{1} 𝑥_{1} + 𝑡_{2} 𝑥_{2} + 𝑡_{3} 𝑥_{3} ⟷ 𝑠_{1} (𝑡_{1} 𝑥_{1} + 𝑡_{2} 𝑥_{2}) + 𝑠_{2} 𝑥_{3}$ . 且分解操作可交换. 且可以分解为多个 $\geq 1$ 阶的

affine-coordinate_(tag) $𝑡_{𝑖}$ 可以认为是基于点 $𝑥_{𝑖}$ 的一种坐标. 仿射坐标. alias 重心坐标 barycentric-coordinate_(tag)

affine-independent_(tag)

仿射无关 := $𝑥_{𝑘}$ 不能表示为 $\sum_{𝑖 = 0 . . 𝑁 ∖ 𝑘} 𝑡_{𝑖} 𝑥_{𝑖}$

仿射无关将对应到选取其中一个点 e.g. $𝑥_{0}$ 为原点后的 $𝑥_{𝑖} - 𝑥_{0}$ 的线性无关

如果是仿射无关, 则顶点对应 $𝑡_{𝑘} = 1 \land 𝑡_{1, \dots, 𝑁 ∖ 𝑘} = 0$

$𝑛$ 维仿射空间最多 $𝑛 + 1$ 仿射无关的点

对于 $𝑛$ 维仿射空间 $𝑉$ 的 $𝑛 + 1$ 仿射无关点的坐标, $𝑡_{0}, \dots, 𝑡_{𝑛}$ 一一对应 $𝑉$ 的仿射点

如果是 $𝑡_{0}, \dots, 𝑡_{𝑁} \in ℝ, \sum_{0 . . 𝑁} 𝑡_{𝑖} = 0$ , 虽然此时坐标 $\sum 𝑡_{𝑖} 𝑣_{𝑖}$ 不会因换原点而改变, 但不是仿射点

affine-map-point-ver_(tag) alias simplicial-map_(tag) 设 $𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑛}$ 是另一个仿射空间的点. 仿射映射由 $𝑓 (𝑥_{𝑖}) = 𝑦_{𝑖}$ 决定, 其它点的情况可以由它们通过仿射同态生成得到

\sum 𝑡_{𝑖} 𝑥_{𝑖} ⇝ \sum 𝑡_{𝑖} 𝑦_{𝑖}

center-of-affine-point-set_(tag) $\sum_{0 . . 𝑁} 𝑡_{𝑖} = 1$ 的中心点是 $𝑡_{1} = \dots = 𝑡_{𝑛} = \frac{1}{𝑁}$

convex-hull_(tag) := 额外 $0 \leq 𝑡_{𝑖} \leq 1$

simplex_(tag) := 由仿射无关的点构成的 convex hull

parallelogram_(tag) 平行体由于对称性, 可以从 $2 𝑛$ 点 convex hull 描述简化为 $𝑛$ 点描述, 在选取原点后

𝑡_{1} 𝑣_{1} + \dots + 𝑡_{𝑛} 𝑣_{𝑛}, 0 \leq 𝑡_{𝑖} \leq 1

parallelogram-simplex-correspond_(tag)

平行体可以 $⨆$ 分解为 $𝑛!$ 个平移反射等价的 simplex

$𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 点的 $𝑛$ 排列

\begin{matrix} 𝑡_{𝑖 (1)} 𝑣_{𝑖 (1)} + \dots + 𝑡_{𝑖 (𝑛)} 𝑣_{𝑖 (𝑛)} \\ 0 \leq 𝑡_{𝑖 (𝑛)} \leq \dots \leq 𝑡_{𝑖 (1)} \leq 1 \end{matrix}

对应 simplex

\begin{matrix} 𝑠_{0} 0 + 𝑠_{1} 𝑣_{𝑖 (1)} + (𝑠_{2} 𝑣_{𝑖 (1)} + 𝑣_{𝑖 (2)}) + \dots + 𝑠_{𝑛} (𝑣_{𝑖 (1)} + \dots + 𝑣_{𝑖 (𝑛)}) \\ \sum_{𝑖 = 0 . . 𝑛} 𝑠_{𝑖} = 1, 0 \leq 𝑠_{𝑖} \leq 1 \end{matrix}

with

\begin{matrix} 𝑣_{𝑖 (𝑛)} & = & 𝑠_{𝑛} \\ 𝑣_{𝑖 (𝑛 - 1)} & = & 𝑠_{𝑛} + 𝑠_{𝑛 - 1} \\ ⋮ \\ 𝑣_{𝑖 (1)} & = & 𝑠_{𝑛} + 𝑠_{𝑛 - 1} + \dots + 𝑠_{1} \end{matrix}

反过来一个 simplex 也给出很多以其为 $𝑛!$ 块 simplex 其中一块的平行体

这两种东西给出的结构强度是差不多的

volume-of-parallelogram_(tag) 对于 $ℝ^{𝑛}$ 的体积假设

平移不变
反射不变 (无向体积)
有限 $⨆$ -> 体积有限 $\sum$
如果 $𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 不是线性无关, 则在低维的子空间, 从而 $𝑛$ 阶体积定义为零

volume-of-simplex_(tag) is $\frac{1}{𝑛!}$ of volume-of-parallelogram

shear-transformation_(tag) 平行体分解成 simplex 之后, 切割与平移, 形成新的同体积平行体. 称为剪切变换. e.g. $𝑡_{1} (𝑣_{1} + 𝑣_{2}) + 𝑡_{2} 𝑣_{2} + \dots + 𝑡_{𝑛} 𝑣_{𝑛}$

(image from p.587 of ref-3)

剪切变换体积不变在代数上是 e.g. $(𝑣_{1} + 𝑣_{2}) \land 𝑣_{2} \land \dots \land 𝑣_{𝑛} = 𝑣_{1} \land 𝑣_{2} \land \dots \land 𝑣_{𝑛}$ or $det (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}) = 1$

边的 $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ$ 伸缩. e.g. $\forall 𝑎 \in ℝ, Vol (𝑎 𝑣_{1}, 𝑣_{2}, \dots, 𝑣_{𝑛}) = 𝑎 Vol (𝑣_{1}, 𝑣_{2}, \dots, 𝑣_{𝑛})$

平行体的伸缩剪切对应到 $GL (𝑛, ℝ)$ 分解到初等线性变换, 也是 Gauss 消元法所用的 (尽管它们可以用于 $𝑚 \times 𝑛$ 矩阵)

volume-determinant_(tag) 平行体 $𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 的体积变化 $𝐴 \in GL (𝑛, ℝ), Vol (𝐴 𝑣_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} 𝑣_{𝑛}) = det 𝐴 Vol (𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛})$

选取 $ℝ^{𝑛}$ 的一个基 $𝑒_{1}, \dots, 𝑒_{𝑛}$ , 以其生成的平行体体积为 $1$ , 其它平行体 $𝐴 𝑒_{1}, \dots, 𝐴 𝑒_{𝑛}$ 的体积是 $det 𝐴$

这是有向体积. $𝑣_{1} \land 𝑣_{2} \land \dots \land 𝑣_{𝑛} = - 𝑣_{2} \land 𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑛}$ 平行体的集合没变所以绝对体积没变, 但是 $𝑣_{1}, 𝑣_{2}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 和 $𝑣_{2}, 𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 方向相反

有向体积 = 无向体积 + 计算方向因子

$𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑛}$ 线性相关 ==> 在低维子空间 ==> 零体积. 此时可以将 $𝐴 \in GL$ 拓展到 $𝐴 \in Lin$ , 并且零体积在代数上对应到 $𝐴 \notin GL ⟺ det (𝐴) = 0$

对于 $ℝ^{𝑛}$ 的 $𝑘$ 阶平行体和 simplex

将平行体对应到 $ℝ^{𝑛}$ 的 $𝑘$ 阶交错张量 ${(ℝ^{𝑛})}^{\land 𝑘}$ 的可分解元素 $𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘}$

try-to-define-volume-of-low-dim_(tag) 如何定义低维体积? 考虑两种方法. 类似于一次型 vs 二次型. 第一种类似对 $(\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \end{matrix})$ 定义 $𝑣_{1} + 𝑣_{2}$ or $| 𝑣_{1} + 𝑣_{2} |$ , 第二种类似于定义 ${(𝑣_{1}^{2} + 𝑣_{2}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ or $| 𝑣_{1}^{2} - 𝑣_{2}^{2} |^{\frac{1}{2}}$

$ℝ^{𝑛}$ 的一个基给出一个交错张量空间的基 $𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}}, 𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}$

用它来定义体积: 对每个 $𝑘$ , 一个特殊的交错 $𝑘$ 重线性函数 or $ℝ^{𝑛}$ 的 $𝑘$ form ${Vol}_{𝑛, 𝑘}$ , 定义为 ${Vol}_{𝑛, 𝑘} (𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}}) = 1$ , forall $𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}$

所以对于一般平行体 $𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘} = (𝑣_{1}^{𝑖_{1}} 𝑒_{𝑖_{1}}) \land \dots \land (𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} 𝑒_{𝑖_{𝑘}}) = \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}) 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}}$ 体积就是

\begin{matrix} Vol (𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘}) & ≔ & \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}) \\ or & ≔ & | \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}) | \end{matrix}

非零可分解交错张量的体积可能是零, $𝐴 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \in GL (2, ℝ)$ 使得 $Vol (2, 1) (𝐴 𝑒_{1}) = 1 - 1 = 0$ . $𝑛$ 阶的剪切变换在 $𝑘$ 阶不成立

Question 选取了特殊的基, 所以怎么样的其它基有相同的结果? or 保持体积不变的线性子群是什么?

$SL (𝑛, ℝ)$ 并不保持 $𝑘 < 𝑛$ 维体积. e.g. $(\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 2 \end{matrix})$ or $(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})$ 不保持 $1$ 维体积

保持所有阶体积的 $𝐴 = (\begin{matrix} 𝑎_{1}^{1} & \dots & 𝑎_{𝑛}^{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑎_{1}^{𝑛} & \dots & 𝑎_{𝑛}^{𝑛} \end{matrix}) \in GL (𝑛, ℝ)$ 满足, for $𝑘 = 1, \dots, 𝑛$ for $𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}$ , ${Vol}_{𝑛, 𝑘} (𝐴 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝐴 𝑒_{𝑖_{𝑘}}) = 1$ , or $\sum_{𝑗_{1} < \dots < 𝑗_{𝑘}} det (\begin{matrix} 𝑎_{𝑖_{1}}^{𝑗_{1}} & \dots & 𝑎_{𝑖_{𝑘}}^{𝑗_{𝑖}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑎_{𝑖_{1}}^{𝑗_{𝑘}} & \dots & 𝑎_{𝑖_{𝑘}}^{𝑗_{𝑘}} \end{matrix}) = 1$

Example ${Vol}_{𝑛, 1} (𝐴 𝑒_{𝑖}) = 𝑎_{𝑖}^{1} + \dots + 𝑎_{𝑖}^{𝑛}$ ( $𝑖$ th 列的元素相加). $𝑛 - 1$ 和 $1$ 的情况类似, i.e. $𝑎_{𝑗}^{𝑖}$ 对应到其余子式

(余子式是 $det$ 的 $1, 𝑛 - 1$ 交错张量分解表示所用到的, 可以推广到 $det$ 的 $𝑘, 𝑛 - 𝑘$ 交错张量分解表示 or Laplace expansion)

Example ${Vol}_{2, 1} (𝐴 𝑒_{𝑖}) = 𝑎_{𝑖}^{1} + 𝑎_{𝑖}^{2}$

$ℝ^{2}$ 的保持所有体积的 $𝐴 = (\begin{matrix} 𝑎_{1}^{1} & 𝑎_{2}^{1} \\ 𝑎_{1}^{2} & 𝑎_{2}^{2} \end{matrix})$ 满足

\begin{matrix} 𝑎_{1}^{1} 𝑎_{2}^{2} - 𝑎_{1}^{2} 𝑎_{2}^{1} & = & 1 \\ 𝑎_{1}^{1} + 𝑎_{1}^{2} & = & 1 \\ 𝑎_{2}^{1} + 𝑎_{2}^{2} & = & 1 \end{matrix}

解的一种坐标表示

\begin{matrix} 𝑥 & \in & ℝ \\ 𝑎_{1}^{1} & = & 1 - 𝑥 \\ 𝑎_{1}^{2} & = & 𝑥 \\ 𝑎_{2}^{1} & = & - 𝑥 \\ 𝑎_{2}^{2} & = & 1 + 𝑥 \\ 𝐴 & = & (\begin{matrix} 1 - 𝑥 & - 𝑥 \\ 𝑥 & 1 + 𝑥 \end{matrix}) \end{matrix}

是 $gl (2, ℝ)$ 的经过 $𝟙 = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ 的一条仿射直线. $SO (2)$ or $SO (1, 1)$ 不是其子集

选取一个非退化二次型

#link(<tensor-induced-quadratic-form>)[导出] 交错空间的二次型 ${⟨ 𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘} ⟩}^{2} = det ⟨ 𝑣_{𝑖}, 𝑣_{𝑗} ⟩$ . 无向体积 $| det ⟨ 𝑣_{𝑖}, 𝑣_{𝑗} ⟩ |^{\frac{1}{2}}$ or ${| det (\begin{matrix} ⟨ 𝑣_{1}, 𝑣_{1} ⟩ & \dots & ⟨ 𝑣_{1}, 𝑣_{𝑛} ⟩ \\ ⋮ & ⋮ \\ ⟨ 𝑣_{𝑛}, 𝑣_{1} ⟩ & \dots & ⟨ 𝑣_{𝑛}, 𝑣_{𝑛} ⟩ \end{matrix}) |}^{\frac{1}{2}}$ . 根据规范正交基及其系数 $𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘} = \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}) 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}}$ , 写成标准二次型

\begin{matrix} {⟨ 𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘} ⟩}^{2} & = & \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} {(det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}))}^{2} {⟨ 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}} ⟩}^{2} \\ {Vol}_{𝑛, 𝑘} (𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑘}) & ≔ & {| \sum_{𝑖_{1} < \dots < 𝑖_{𝑘}} {(det (\begin{matrix} 𝑣_{1}^{𝑖_{1}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{1}} \\ ⋮ & ⋮ \\ 𝑣_{1}^{𝑖_{𝑘}} & \dots & 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} \end{matrix}))}^{2} {⟨ 𝑒_{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑒_{𝑖_{𝑘}} ⟩}^{2} |}^{\frac{1}{2}} \end{matrix}

${⟨ 𝑣_{1} \land \dots \land 𝑣_{𝑛} ⟩}^{2} = 0$ <==> 体积零

在非 Euclidean 情况, light-like 会造成影响

不同 signature 的体积定义会对 $𝑘 < 𝑛$ 阶的相同集合不同

两种体积的定义对 $𝑘 = 𝑛$ 重合

convex-hull-decomposition_(tag) convex hull 最优分解到 simplex, 方式非唯一. 麻烦的组合问题

Example

$ℝ^{2}$ 的 $4$ 个点

$ℝ^{2}$ 的 $5$ 个点. 先选取 $2$ simplex, 即选取 $3$ 个顶点

找出哪些 simplex 组合是 convex hull 的分解

convex hull 的交集是 convex hull

Example

simplex 的减集可能不是 convex hull. 但仍然可以分解到 simplex

Example

polyhedra_(tag) 多面体 :=

n simplex 有限并 with

内部不相交
两个 n simplex 之间传递连通
传递边界是 n-1 simplex

传递边界的维数是为了让多面体有最好的连通性

low-dim-polyhedra_(tag) 低维子多面体. 作为一种类似子流形的设置? i.e. $ℝ^{𝑘}$ 维里 $𝑘 - 1$ 边界的相邻的 simplex 只有两个 -> 分段嵌入到 $ℝ^{𝑛}$ . 若不然, 考虑例子三接边界

可数推广 -> 可数多面体

polyhedra-measurable_(tag)

多面体可测集 $𝐴$ . 用可数多面体 $𝑃$ 逼近, #link(<symmetric-set-minus>)[对称差] $𝐴 Δ 𝑃$ 用可数 simplex 覆盖作为测度估计误差

集合 $𝐴, 𝐵$ 定义距离 (ref-12)

𝑑 (𝐴, 𝐵) ≔ \inf_{\begin{matrix} polyhedra 𝐶 \\ 𝐴 Δ 𝐵 \subset 𝐶 \end{matrix}} Vol (𝐶)

可测集 $𝐴$ := $\inf_{polyhedra 𝑃} 𝑑 (𝐴, 𝑃) = 0$

集合 $𝐴$ 到 "原点" $\emptyset$ 的距离 $𝐴 Δ \emptyset = 𝐴$ and $𝑑 (𝐴) : = 𝑑 (𝐴, \emptyset) = \inf_{\begin{matrix} polyhedra 𝐶 \\ 𝐴 \subset 𝐶 \end{matrix}} Vol (𝐶)$

$𝑑 (𝐴 Δ 𝐵) = 𝑑 (𝐴, 𝐵)$

如果 $𝐴 \subset 𝐴^{'}$ 则 $𝑑 (𝐴) \leq 𝑑 (𝐴^{'})$

$𝑑 (𝐴 \cup 𝐴^{'}) \leq 𝑑 (𝐴) + 𝑑 (𝐴^{'})$ Proof by $(𝐴 \subset 𝑃) \land (𝐴^{'} \subset 𝑃^{'}) ⟹ (𝐴 \cup 𝐴^{'}) \subset (𝑃 \cup 𝑃^{'})$

注意, 这种可测集有好的连通性. 在一维中只有区间, 排除了 Smith–Volterra–Cantor 集等. 多面体可测集的并集等操作也受到限制

Lebesgue-measurable_(tag) 如果不使用传递连通, 则得到一般可测集的定义. alias: Lebesgue 可测集. 存在不可测集

Lebesgue-measure_(tag)

集合对称差满足

$𝐵 Δ 𝐵^{'} \subset (𝐴 Δ 𝐵) \cup (𝐴 Δ 𝐵^{'})$

对应三角不等式 $𝑑 (𝐵, 𝐵^{'}) \leq 𝑑 (𝐴, 𝐵) + 𝑑 (𝐴, 𝐵^{'})$

Proof $𝐵 ∖ 𝐵^{'} \subset (𝐵 ∖ 𝐴) \cup (𝐴 ∖ 𝐵^{'})$

\begin{matrix} 𝑥 \in 𝐵 ∖ 𝐵^{'} & ⟺ & 𝑥 \in 𝐵 \land 𝑥 \notin 𝐵^{'} \\ ⟺ & (𝑥 \in 𝐵 \land 𝑥 \notin 𝐵^{'}) \land (𝑥 \notin 𝐴 \lor 𝑥 \in 𝐴) \\ ⟺ & (𝑥 \in 𝐵 \land 𝑥 \notin 𝐵^{'} \land 𝑥 \notin 𝐴) \lor (𝑥 \in 𝐵 \land 𝑥 \notin 𝐵^{'} \land 𝑥 \in 𝐴) \\ ⟹ & (𝑥 \in 𝐵 \land 𝑥 \notin 𝐴) \lor (𝑥 \in 𝐴 \land 𝑥 \notin 𝐵^{'}) \\ ⟺ & 𝑥 \in (𝐵 ∖ 𝐴) \cup (𝐴 ∖ 𝐵^{'}) \end{matrix}

另一边类似

三角不等式

\begin{matrix} 𝑑 (𝐵, 𝐵^{'}) & = & 𝑑 (𝐵 Δ 𝐵^{'}) \\ \leq & 𝑑 ((𝐴 Δ 𝐵) \cup (𝐴 Δ 𝐵^{'})) \\ \leq & 𝑑 (𝐴, 𝐵) + 𝑑 (𝐴, 𝐵^{'}) \end{matrix}

对多面体 $𝑃, 𝑃^{'}$ with 有限体积 and $𝑑 (𝐴, 𝑃), 𝑑 (𝐴, 𝑃^{'}) < 𝜀$

唯一极限

| Vol (𝑃) - Vol (𝑃^{'}) | = Vol (𝑃 Δ 𝑃^{'}) = 𝑑 (𝑃, 𝑃^{'}) \leq 𝑑 (𝐴, 𝑃) + 𝑑 (𝐴, 𝑃^{'}) < 2 𝜀

如果使用逼近 $𝐴$ 的多面体的 #link(<net>)[网], 则有 #link(<hom-limit>)[极限同态] $Vol (𝐴) ≔ lim_{𝑑 (𝐴, 𝑃) \to 0} Vol (𝑃)$

得到有限测度的定义. 无限测度的定义来自有限测度的可数逼近, 或 $\sum_{𝑛 = 1 . . \infty} 𝜀_{𝑛} < 𝜀$ 技术

try-to-define-low-dim-measure_(tag) 尝试定义 $ℝ^{𝑛}$ 的 $𝑘 < 𝑛$ 维可测集. 由于 $𝑘$ 区域的 codimension $\neq 0$ , 所以显然不能用集合差和 simplex 覆盖作为测度估计误差来逼近一般的 " $𝑘$ 维集合"

pathologic-example-measure-of-boundary_(tag)

用 Euclidean metric 结构可以定义一些低维可测集, 但还是有病态例子 (暂时忽略细节, 自行 wiki)

油漆悖论. 测度有限但边界的测度无限. 使用了无界区域
Koch 雪花. 测度有限但边界的测度不可定义 or 无限. 使用了处处不可微的边界

逼近 $𝑛$ 体积但是边界体积不逼近的例子

Schwarz 灯笼
无限楼梯逼近三角形斜边 $\sqrt{2} = 2$ or 圆 ( $𝜋 = 4$ ) or 只要大幅法向振荡, $\sqrt{2} = 𝜋 = \infty$

measure-theoretic-boundary_(tag)

测度论边界. 维数 — 某种上确界 $𝑑 < 𝑛$ — 可能不是自然数而是实数

对多面体可测集, 直觉上, 边界 = 可测集的零测集 quotient 中的最大减最小 $⋃ [𝐴] ∖ ⋂ [𝐴]$

对一般可测集, 直觉上, 边界 =

{𝑥 \in ℝ^{𝑛} : \neg lim_{simp \to 𝑥} \frac{Vol (𝐴 \cap simp)}{Vol (simp)} = 0, 1}

where $simp \to 0$ 指相对于任何一个 $𝑥$ 为中心的 simplex 的整体伸缩到零

or 边界 = 不是内部或外部. 内部 = 极限 $1$ , 外部 = 极限 $0$

Lebesgue differentiation theorem 说, 边界的测度是零

矩形的边的区间分割给出矩形 product 式分割
simplex 中心连接到 $𝑛$ 个点有 $(\binom{𝑛 + 1}{𝑛}) = 𝑛$ 种方式, 将一个 simplex 分割到 $𝑛$ 个 sub simplex
或者用边界所有低维 simplex 的中点