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Example Euclidean 解析流形, 球面 ${\mathrm{𝕊}}^{𝑛}$ 的多种坐标

• 函数图坐标, 函数方程 $|𝑥{|}^2=1$ and 隐函数定理. e.g. $𝑦=\sqrt{1-{𝑥}^2}$ for ${\mathrm{𝕊}}^1\subset {\mathrm{ℝ}}^2$
• #link(<stereographic-projection>)[球极投影]
• 极坐标. 从 ${\mathrm{𝕊}}^1$ 的三角函数开始, 归纳地构造新的纬度
• 测地线坐标

Example ${\mathrm{ℝ}}^3$ 的参数曲线曲面. 解析函数 $𝑓:{\mathrm{ℝ}}^2\to {\mathrm{ℝ}}^3$, $𝑑𝑓\ne 0$ ==> 局部参数是局部解析同胚

manifold_(tag) := minimal structure to define manifold, 一族同维数坐标卡覆盖 $𝑀$, 用 Euclidean or Minkowski or 二次型解析的转换函数

orientable_(tag) 可定向 := 在切丛中可以解析地定义 #link(<orientation>)[]

等价于 $\text{Diff}$ 的 ${\text{det}}^{-1}\left({\mathrm{ℝ}}_{<0}\right)\bigsqcup {\text{ det}}^{-1}\left({\mathrm{ℝ}}_{>0}\right)$ 分解

等价于存在坐标覆盖, 每个 transition function 微分 $𝑑𝑓\in \text{ SO}$

Example #link(<Mobius-strip>)[] 不可定向

带边流形如果内部可定向, 则边界也可定向. 直觉上, 边界的局部有相同的内部 + 内部可定向 ==> 边界的局部有相同方向 ==> 边界方向被决定了

manifold-with-boundary_(tag) 带边流形. 坐标可以是 $𝑛-1$ 维超平面包围的区域, 转换函数需要能够导出 $𝑛-1$ 维子空间里的转换函数. 通常使用几乎处处解析来处理一些奇点

metric-manifold_(tag) 流形上的 metric 是在每个切空间定义 metric, 等价于在流形切丛上选择 orthonormal frame bundle. 对 $\text{SO}\left(𝑝,𝑞\right)$ oritentable, 可以选择 $\text{SO}\left(𝑝,𝑞\right)$ 可定向的标架丛

metric 可以继承自 submanifold 或 quotient manifold of ${\mathrm{ℝ}}^{𝑝,𝑞}$

Example …

即使用二次型拓扑和微分定义了流形, 也仍然有很多不同的 metric. 一种性质良好的 metric 是 #link(<Einstein-metric.typ>)[]

isometry_(tag) := diffeomorphism 保持 metric $𝑔$. 通常也假设保持可定向流形的方向

微分同胚作用于 metric space, isometry 是这个群作用的 #link(<isotropy>)[]

不同曲率的 metric 不能在相同的 orbit. 特别地, 零曲率和非零曲率的 metric 不能在相同的 oribt

δ-isometry_(tag) alias Killing-field_(tag)

将会用于流形上的作用量守恒流

Question δ-isometry 和 isometry 群的维数 $\le \text{ dim }\left({\mathrm{ℝ}}^{𝑝,𝑞}⋊\text{ SO}\left(𝑝,𝑞\right)\right)$

Example 一些具体的流形

二次型流形 ${\mathrm{\mathbb{Q}}}^{𝑝,𝑞}\left(\pm {𝑟}^2\right)$

(cf. ref-10 ref-11). group $\text{SO}\left(𝑝,𝑞\right),\text{U},\text{SU},\text{Sp},\text{SL},{𝐺}_2$. exp coordinate

Grassmannian-manifold_(tag) $\text{SO}\left(𝑛\right)$ act on $𝑘$ subspace $\frac{\text{SO}\left(𝑛\right)}{\text{SO}\left(𝑘\right)\times \text{SO}\left(𝑛-𝑘\right)}$ (orientable)

Stiefel-manifold_(tag) tautological frame bundle $\frac{\text{SO}\left(𝑛\right)}{\text{SO}\left(𝑛-𝑘\right)}$

tautological bundle

推广到 $𝑝,𝑞$ 二次型的情况

lens space

连续同胚但不微分同胚. Example 四元数 $\mathrm{ℍ}$ 版本的 #link(<Hopf-bundle>)[] 的多种修改给出了例子之 called exotic 7-shpere