note-math

相对论纯量场作用量近似到非相对论纯量场作用量

使用有质量场, 使用静能量相位提取 $\text{exp}\left(-𝑚{𝑐}^2\frac{1}{\mathrm{\hslash }}𝑡\text{ i}\right)$, 使用时间 ${𝑥}_0=𝑐𝑡$ 和光速极限 $\underset{𝑐\to \infty }{\text{lim}}$

for #link(<Klein--Gordon-Lagrangian>)[], 恢复 Planck 常数 $ℎ$, 光速 $𝑐$, 时间 ${𝑥}_0=𝑐𝑡$

$${\int }_{\mathrm{ℝ}}𝑑𝑐𝑡{\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{𝑐}^2}\left({\partial }_{𝑡}{\mathrm{\varphi }}^{\ast }{\partial }_{𝑡}\mathrm{\varphi }\right)-{\partial }_{𝑥}{\mathrm{\varphi }}^{\ast }\cdot {\partial }_{𝑥}\mathrm{\varphi }+\frac{{𝑚}^2{𝑐}^2}{{ℎ}^2}{\mathrm{\varphi }}^{\ast }\mathrm{\varphi }\right)$$

use $\mathrm{\varphi }=\text{exp}\left(-𝑚{𝑐}^2\frac{1}{\mathrm{\hslash }}𝑡\text{ i}\right)𝜓$

let $𝜃=𝑚{𝑐}^2\frac{1}{\mathrm{\hslash }}\text{ i}$

use ${\partial }_{𝑡}\mathrm{\varphi }=𝜃{𝑒}^{𝜃𝑡}𝜓+{𝑒}^{𝜃𝑡}{\partial }_{𝑡}𝜓$

$$\begin{array}{cccc}{\partial }_{𝑡}{\mathrm{\varphi }}^{\ast }{\partial }_{𝑡}\mathrm{\varphi }& =& -\frac{{𝑚}^2{𝑐}^4}{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝜓}^{\ast }𝜓& \text{ use }{\text{ i }}^2=-1\\ & & +\frac{𝑚{𝑐}^2}{\mathrm{\hslash }}\text{ i }\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }\right)\\ & & +{\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓\end{array}$$

term $-\frac{{𝑚}^2{𝑐}^4}{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝜓}^{\ast }𝜓$ 乘以 $\frac{1}{{𝑐}^2}$ 将抵消质量项 $\frac{{𝑚}^2{𝑐}^2}{{\mathrm{\hslash }}^2}{\mathrm{\varphi }}^{\ast }\mathrm{\varphi }$

term $\frac{𝑚{𝑐}^2}{\mathrm{\hslash }}\text{ i }\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }\right)$ 乘以 $\frac{1}{{𝑐}^2}$ 将抵消光速 $𝑐$ 因子

term ${\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓$ 乘以 $\frac{1}{{𝑐}^2}$ 将得到 $𝑂\left(\frac{1}{{𝑐}^2}\left({\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓\right)\right)$, 在极限 $\underset{𝑐\to \infty }{\text{lim}}$ 时消失

$𝑑{𝑥}^0=𝑑𝑐𝑡$ 可能不影响?

整体再乘以 $\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝑚}$ 得到

非相对论纯量场 Lagrangian, alias Schrodinger-Lagrangian Schrodinger-Lagrangian_(tag)

$${\int }_{\mathrm{ℝ}}𝑑𝑡{\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\frac{1}{2}\left(\mathrm{\hslash }\text{ i }\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }\right)-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝑚}{\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }\cdot {\partial }_{𝑥}𝜓\right)$$

可以在作用量上加上规范场静电 potential 项 i.e. ${\partial }_{𝑡}$ 改为 ${\partial }_{𝑡}+\frac{\text{ i }}{\mathrm{\hslash }}𝑉$

非相对论纯量场方程, alias Schrodinger-equation Schrodinger-equation_(tag)

$$\text{i }\mathrm{\hslash }{\partial }_{𝑡}𝜓=-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}∆𝜓+𝑉𝜓$$

对相对论或非相对论纯量场, 都可以, 使用时间平面波混合静态解 $\text{exp}\left(-\frac{1}{\mathrm{\hslash }}𝐸𝑡\text{ i}\right)𝜓\left(𝑥\right)$, 得到特征值方程

$$-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}∆𝜓+𝑉𝜓=𝐸𝜓$$

也可以加上静态磁势, ${\partial }_{𝑥}$ 改为 $\left({\partial }_{𝑥}+\frac{\text{ i }}{\mathrm{\hslash }}𝐴\right)𝜓$, with

${\left({\partial }_{𝑥}+\frac{\text{ i }}{\mathrm{\hslash }}𝐴\right)}^{†}\left({\partial }_{𝑥}+\frac{\text{ i }}{ℎ}𝐴\right)𝜓=\left(∆+\frac{\text{ i }}{ℎ}\text{ div }𝐴+\frac{2\text{ i}}{\mathrm{\hslash }}𝐴\cdot {\partial }_{𝑥}-\frac{1}{{\mathrm{\hslash }}^2}|𝐴{|}^2\right)𝜓$

Schrodinger-eq-potential-example_(tag) Example

• $𝑉=𝑘{𝑟}^2$

  谐振子 (一个或多个) 代表 ${\mathrm{ℝ}}^{𝑛}$ 或球区域内常值电荷密度的电势. $\text{div }\text{ grad }{𝑟}^2=\text{ const}$. 异电荷对应椭圆型, 同电荷对应双曲型

• $𝑉=𝑘\frac{1}{𝑟}$

  ${\mathrm{ℝ}}^3$ 氢原子模型 (单粒子, 静态, 零自旋) 代表由点电荷或球对称电荷球生成的球对称的电势

  用对称性 + Gauss 定理

  或者用微分方程, 球对称 $𝑓\left(𝑥\right)=𝑓\left(\left|𝑥\right|\right)=𝑓\left(𝑟\right)$ + 电荷集中在一点或球区域, 则在外部 $∆𝑓\left(𝑟\right)=0$ ==> $2\frac{1}{𝑟}\frac{𝑑𝑓}{𝑑𝑟}+\frac{{𝑑}^2𝑓}{𝑑{𝑟}^2}=0$ ==> $𝑓\left(𝑟\right)=𝑘\frac{1}{𝑟}$

  Warning Schrodinger 方程在氢原子之外的原子分子暂无解析解. 我也不了解现有的多粒子模型及其数值计算的效果如何

• $𝑉=$ 箱/球 势 井/壁 (box/ball potential well/barrier)

• 常值电场或常值磁场

关于非相对论近似极限

• 静能量相位提取 $\text{exp}\left(-𝑚{𝑐}^2\frac{1}{\mathrm{\hslash }}𝑡\text{ i}\right)$ 不是规范变换
• $\mathrm{ℂ}$ 可推广到 $\mathrm{ℍ},\mathrm{𝕆}$? $\text{i}$ 换成任何 $\text{Im}\left(\mathrm{𝕂}\right)$ 单位元. $\mathrm{ℝ}$ 不行? 或者 $\mathrm{ℝ}$ 是用于双曲系质量 KG 而不是椭圆系质量 KG, 一维 $\mathrm{ℝ}$ 中无法解方程 ${𝑥}^2=-1$)
• 这种非相对论近似极限的方式是坐标依赖的. 在弯曲流形上, 由于可能需要多个坐标覆盖整个流形, 非相对论近似极限的的定义问题会更困难

对称性与守恒流

let

$$𝐿\left(𝜓,{\partial }_{𝑡}𝜓,{\partial }_{𝑥}𝜓\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{\hslash }\text{ i }\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑡}{𝜓}^{\ast }\right)-\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝑚}{\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }\cdot {\partial }_{𝑥}𝜓\right)$$

类似于相对论纯量场的情况, energy-momentum tensor energy-momentum-tensor-Schrodinger_(tag)

$$𝑇={𝑇}_{𝜈}^{𝜇}=\{\begin{array}{cc}\frac{\partial 𝐿}{\partial \left({\partial }_{𝜈}𝜓\right)}\cdot {\partial }_{𝜈}𝜓-𝐿& \text{ if }𝜇=𝜈\\ \frac{\partial 𝐿}{\partial \left({\partial }_{𝜇}𝜓\right)}\cdot {\partial }_{𝜈}𝜓& \text{ if }𝜇\ne 𝜈\end{array}$$

时间

$$\begin{array}{ccc}\frac{\partial 𝐿}{\partial \left({\partial }_{𝑡}\mathrm{\varphi }\right)}\cdot {\partial }_{𝜈}𝜓& =& \frac{1}{2}\mathrm{\hslash }\text{ i }\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝜈}𝜓-𝜓{\partial }_{𝜈}{𝜓}^{\ast }\right)\\ & =& \mathrm{\hslash }\text{ i }\text{Im}\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝜈}𝜓\right)\\ \end{array}$$

空间

$$\begin{array}{ccc}\frac{\partial 𝐿}{\partial \left({\partial }_{𝑥}\mathrm{\varphi }\right)}\cdot {\partial }_{𝜈}𝜓& =& -\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}\left({\partial }_{𝜈}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑥}𝜓+{\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝜈}𝜓\right)\\ & =& -\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}\text{Re}\left({\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝜈}𝜓\right)\end{array}$$

能量

$$𝐸={\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\left({𝑇}_0^0\right)={\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\left(\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}|{\partial }_{𝑥}𝜓{|}^2\right)$$

由于能动张量散度零, 能量对时间 $𝑡$ 守恒 ${\partial }_{𝑡}𝐸=0$

非相对论纯量场, Schrodinger 场的能量是实数且是正的且 time invariant

旋转角动量是 angular-momentum-Schrodinger_(tag)

$${𝑀}_{𝑖𝑗}^{𝑘}=\left[{𝑥}_{𝑖},{𝑇}_{𝑗}^{𝑘}\right]$$

Schrodinger 场的规范电流

相位改变 ${𝑒}^{𝜃\left(𝑥\right)}\mathrm{\varphi }\left(𝑥\right)$ 及其 δ 改变 $𝜃\mathrm{\varphi }$ 属于解附近的边界固定的变分, 所以

电流空间部分类似相对论的情况, $\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{2𝑚}\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑥}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }\right)=\frac{{\mathrm{\hslash }}^2}{𝑚}\text{Im}\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑥}𝜓\right)$

电流时间部分 ($𝜃\left(𝑥\right)\in \text{Im}\left(\mathrm{ℂ}\right)$)

$$\mathrm{\hslash }\text{ Im }\left(\left(-𝜃{𝜓}^{\ast }\right){\partial }_{𝑡}𝜓+{𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑡}\left(𝜃𝜓\right)\right)=\mathrm{\hslash }\text{ Im }\left({𝜓}^{\ast }𝜓{\partial }_{𝑡}𝜃\right)$$

结果将会是量 $\text{i }\mathrm{\hslash }{𝜓}^{\ast }𝜓$

整个电流, 除以 $\text{i }\mathrm{\hslash }$ 之后, 是 $({𝜓}^{\ast }𝜓,-\frac{\text{i }\mathrm{\hslash }}{2𝑚}\left({𝜓}^{\ast }{\partial }_{𝑥}𝜓-𝜓{\partial }_{𝑥}{𝜓}^{\ast }\right)$ current-gauge-Schrodinger_(tag)

Schrodinger 场规范电流的时间分量是实数, 空间分量是纯虚数

认为 $𝑗$ 是可 ${\mathrm{ℝ}}^3$ 积分的量

对时间 $𝑡$ 不变 ${\partial }_0{\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\left({𝑗}^0\right)=0$ by ${\partial }^{†}𝑇=0$ conserved-spatial-integral-charge-Schrodinger_(tag)

$$\begin{array}{ccc}{\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\left({𝑗}^0\right)& =& {\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥\left({𝜓}^{\ast }𝜓\right)\\ & =& {\int }_{{\mathrm{ℝ}}^3}𝑑𝑥|𝜓{|}^2\end{array}$$

Schrodinger 场电流的时间分量是正的且空间积分 time invariant

这个量应该是 "粒子数密度" or "概率密度" or "电荷密度"?

motivation-of-quantization_(tag)

对于谐振子 $𝑘{𝑟}^2$ 和氢原子 $𝑘\frac{1}{𝑟}$, 如果假设波函数的相位是 ${𝑒}^{-\text{ i }𝐸𝑡}$ 的振荡, 振幅是静态的 $𝜓\left(𝑥\right)$, 则 ${𝑒}^{-\text{ i }𝐸𝑡}𝜓\left(𝑥\right)$ 满足 Schrodinger or Dirac eq <==> $𝜓\left(𝑥\right)$ 满足 Hermitian 算子的特征方程 $\text{H }𝜓=𝐸𝜓$, 并且 $𝐸$ 是离散的, for 椭圆型谐振子和氢原子的束缚态