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note-math

相对论纯量场作用量近似到非相对论纯量场作用量

使用有质量场, 使用静能量相位提取 , 使用时间 和光速极限

for Klein--Gordon-Lagrangian, 恢复 Planck 常数 , 光速 , 时间

use

let

use

term 乘以 将抵消质量项

term 乘以 将抵消光速 因子

term 乘以 将得到 , 在极限 时消失

可能不影响?

整体再乘以 得到

非相对论纯量场 Lagrangian, alias Schrodinger-Lagrangian [Schrodinger-Lagrangian]

可以在作用量上加上规范场静电 potential 项 i.e. 改为

非相对论纯量场方程, alias Schrodinger-equation [Schrodinger-equation]

对相对论或非相对论纯量场, 都可以, 使用时间平面波混合静态解 , 得到特征值方程

也可以加上静态磁势, 改为 , with

Eaxmple [Schrodinger-eq-potential-example]

  • 谐振子 (一个或多个) 代表 或球区域内常值电荷密度的电势. . 异电荷对应椭圆型, 同电荷对应双曲型

  • 氢原子模型 (单粒子, 静态, 静电, 零自旋) 代表由点电荷或球对称电荷球生成的球对称的电势

    用对称性 + Gauss 定理

    或者用微分方程, 球对称 + 电荷集中在一点或球区域, 则在外部 ==> ==>

    wiki:Hydrogen-like_atom

    Warning Schrodinger 方程 or Dirac 方程在氢原子之外的原子分子暂无解析解. 我也不了解现有的多粒子模型及其数值计算的效果如何

  • 箱/球 势 井/壁 (box/ball potential well/barrier)

  • 常值电场或常值磁场

关于非相对论近似极限

  • 静能量相位提取 不是规范变换
  • 可推广到 ? 换成任何 单位元. 不行? 或者 是用于双曲系质量 KG 而不是椭圆系质量 KG, 一维 中无法解方程 )
  • 这种非相对论近似极限的方式是坐标依赖的. 在弯曲流形上, 由于可能需要多个坐标覆盖整个流形, 非相对论近似极限的的定义问题会更困难

对称性与守恒流

let

类似于相对论纯量场的情况, energy-momentum tensor [energy-momentum-tensor-Schrodinger]

时间

空间

能量

用 product rule + 散度量 + 边界是零, 转为

如果有静电 potential , 则将仍然是 , 但可能会变成非正定

由于能动张量散度零, 能量对时间 守恒

非相对论纯量场, Schrodinger 场的能量是实数且是正的且 time invariant

旋转角动量是 [angular-momentum-Schrodinger]

Schrodinger 场的规范电流

相位改变 及其 δ 改变 属于解附近的边界固定的变分, 所以

电流空间部分类似相对论的情况,

电流时间部分 ( )

结果将会是量

整个电流, 除以 之后, 是 [current-gauge-Schrodinger]

Schrodinger 场规范电流的时间分量是实数, 空间分量是纯虚数

认为 是可 积分的量

对时间 不变 by [conserved-spatial-integral-charge-Schrodinger]

Schrodinger 场电流的时间分量是正的且空间积分 time invariant

这个量应该是 "粒子数密度" or "概率密度" or "电荷密度"?

[motivation-of-quantization]

大部分对量子化的处理都会假设

  • 场的线性 unitary 演化

  • 可能非自由场, 所以无法用平面波

如果考虑 KG 场的非相对论近似极限, 则会自动得到这些假设

然后静态规范场的时间分量作为电势, 谐振子 potential (均匀电荷) (可能不应该用这种解释) 和氢原子 potential (点电荷) 都来自简单的电荷密度

于是动机问题变成

  • 为什么用 KG 场

  • 为什么以及如何对应到点粒子

  • 为什么规范场的 potential 会在场的粒子化时变成粒子的 potential

经典对应是指, 点粒子 Lagrange-equation 的期望值版本 (ref-15, p.116) (wiki:Ehrenfest_theorem), e.g.

期望的速度中也出现了新的算子

其中非交换性 or 被很小的 Planck 常量 所控制

注意经典能量和量子能量的不同, 类似平均值和方差的不同. 例如, . 可以考虑标准差 . 有不确定性原理 . 取得等式 <==> harmonic-oscillator-ground-state

Schrodinger eq 是 KG eq 的非相对论极限, Newton 方程是相对论点粒子的非相对论极限. 所以, 是否可以证明, KG eq 也有点粒子极限. 此时 "期望" 的定义是否要用 的 KG 的电荷量密度 . 但是 KG eq 的电荷是非正定的, 使得更加远离经典粒子的含义. 然而 KG eq 的能量是正定的 (即使有电磁 potential). Dirac eq 则电荷正定但能量不正定

如何让点粒子的 Lagrange-equation 的期望值版本对应到场的 Lagrange-equation?

另一些 Schrodinger 波函数对应到点粒子的迹象

  • Feynman 路径积分使用点粒子 Lagrangian 权重的路径统计来计算 Schrodinger eq 的 propagator. Question 证明它满足 Ehrenfest theorem 从而满足 Schrodinger eq

[quamtum-operator-motivation]

Schrodinger wave function 在 Galileo 变换下的行为的推导, 简要地说, 是假设非相对论时空的换坐标 之余, 还假设波函数改变相位 , 结果将会是 (ref-16)

Question 简化计算以及相位变换使用的更好的动机解释? 也许能联系到 KG eq 近似到 Schrodinger eq 时的静态能量相位的使用. 总之, Schrodinger eq 和电磁场都不是纯 Galileo 变换不变的

Galileo boost 给出波函数 的变换 , 此 action 的 δ action 是算子

时间平移 -> δ action , Hamiltonian

空间平移 -> δ action , 动量算子

旋转 -> δ action , 角动量算子

相位 -> δ action

对于 空间的 QM, boost 和空间平移的 Lie bracket , 或等价地

[motivation-of-eigenstate]

模仿有限维的情况, (ref-3, p.143–144. ref-23, p.218–222) 在一个 (正定) 二次型空间用一个正交基对另一个二次型进行对角化

用微分来寻找 Hermitian 算子 的极值 or 一阶稳定值

on , let ( 的意义上的正交)

有限维标准二次型上的另一个二次型 , 对应到无限维则是, 波函数在某种 or Hilbert 空间, 作为一种二次型空间. 能量 是另一个二次型

其一阶微分 forall ==> ==> exists

不同特征值的态正交

存在有限维标准二次型的一个正交基 , , 使得 是接近标准二次型的形式, 即对角化 . 可以将 写为 或者 . 对应到无限维则是, 存在 Hilbert 空间的正交基使得能量 被对角化. 但 Hilbert 空间的情况, 可能会, 可数加法形式的能量期望的对角化

但也有时可数加法还不够, 而是需要积分形式, 且正交基不是波函数所在的 , 即使波函数的正交基展开的系数可能是对特征值所在空间的 . (Question 特征值空间的 结构的具体构造方法是什么?) 例子是静电氢原子模型中存在非束缚态部分

Schrodinger eq 演化保持特征值空间

能量是二次型, 其二阶微分的多项式

将空间分为 特征空间 和它的正交补 . 在 方向上, 二阶微分是正定 or 负定的, 能量会升高或降低. 根据 Lagrangian 变分理论, Schrodinger eq 的能量是时间守恒量

是极限分离的, 除非在 . , 所以演化将封闭在 特征空间

特征值空间的 Schrodinger eq 演化的具体解. 对每个空间点 都是 的常系数线性 ODE, 解 i.e. 除了复指数按时间进行 振荡的相位因子 , 本质上是静态