1. notice
  3. 中文
  4. 1. feature
  6. 逻辑
  7. 2. 逻辑
  8. 3. 集合论
  9. 4. 映射
  10. 5. 序
  11. 6. 组合
  13. 微积分
  14. 7. 实数
  15. 8. 数列极限
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean 空间
  18. 11. Minkowski 空间
  19. 12. 多项式
  20. 13. 解析 (Euclidean)
  21. 14. 解析 (Minkowski)
  22. 15. 解析 struct 的操作
  23. 16. 常微分方程
  24. 17. 体积
  25. 18. 积分
  26. 19. 散度
  27. 20. 网极限
  28. 21. 紧致
  29. 22. 连通
  30. 23. 拓扑 struct 的操作
  31. 24. 指数函数
  32. 25. 角度
  34. 几何
  35. 26. 流形
  36. 27. 度规
  37. 28. 度规的联络
  38. 29. Levi-Civita 导数
  39. 30. 度规的曲率
  40. 31. Einstein 度规
  41. 32. 常截面曲率
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. 主丛
  44. 35. 群作用
  45. 36. 球极投影
  46. 37. Hopf 丛
  48. 场论
  49. 38. 非相对论点粒子
  50. 39. 相对论点粒子
  51. 40. 纯量场
  52. 41. 纯量场的守恒流
  53. 42. 非相对论纯量场
  54. 43. 光锥射影
  55. 44. 时空动量的自旋表示
  56. 45. Lorentz 群
  57. 46. 旋量场
  58. 47. 旋量场的守恒流
  59. 48. 电磁场
  60. 49. 张量场的 Laplacian
  61. 50. Einstein 度规
  62. 51. 相互作用
  63. 52. 谐振子量子化
  64. 53. 旋量场杂项
  65. 54. 参考
  67. English
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. logic-topic
  72. 57. logic
  73. 58. set-theory
  74. 59. map
  75. 60. order
  76. 61. combinatorics
  78. calculus
  79. 62. real-numbers
  80. 63. limit-sequence
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean-space
  83. 66. Minkowski-space
  84. 67. polynomial
  85. 68. analytic-Euclidean
  86. 69. analytic-Minkowski
  87. 70. analytic-struct-operation
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  89. 72. volume
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  113. field-theory
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  115. 94. point-particle-relativity
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  117. 96. scalar-field-current
  118. 97. scalar-field-non-relativity
  119. 98. projective-lightcone
  120. 99. spacetime-momentum-spinor-representation
  121. 100. Lorentz-group
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  123. 102. spinor-field-current
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  128. 107. harmonic-oscillator-quantization
  129. 108. spinor-field-misc
  130. 109. reference

note-math

cf. 纯量场的作用量

对称性与守恒流

  • 时空平移

时空平移不固定 "边界". 变分非零. 类似于点粒子的时间的平移的情况. let

一般地, 区域改变通过 通过 δ diffeomorphism 给出

另一方面, 使用变量替换公式

交换微分和积分

将其应用于

考虑 平移的变分的作用量的微分. let . 一阶微分

use product rule

收集的 项是零 by Lagrange-equation

得到

for all 区域 ==> 被积项也相等

[energy-momentum-tensor-KG]

散度零

for 计算

or

可以看到这个 EM tensor 在指标下降后 是 symmetric 的

再加上 KG 作用量 是实数值, 从而其 EM tenosr 是实数值

假设 的 EM tensor 可对 积分. 使用记号 . energy

一般 potential =>

relativity scalar field 的能量是实数且是正的

[conserved-spatial-integral-energy-KG]

固定 坐标, 认为 是可 积分的量

只要假设通量密度 就有 time invariant of

  • . 场的能量守恒

  • . 场的动量 (?) 守恒

其它 分量 e.g. , 是沿 方向 invariant. 使用 , 的积分及其 . 区域逼近的极限 是对双曲测地线球 (多半径)

Example 对于平面波展开

能量是 (Question)

  • 旋转和 boost

对于场, 无论是空间旋转还是 boost, 即使 Lagrangian 不变, 作用量还是改变

现在用记号

  • 的空间旋转. 则 所以切向量是

    设 是空间旋转轴, 则切向量将是

  • 的 boost. 则 所以切向量是

    设 是空间 boost 轴, 则切向量将是 ( 时空 metric 有负定空间)

现在用记号 . 旋转和 boost 的切向量合起来记为 , 作为 δ 时空旋转 作用在场 , 作为 δ diffeomorphism

利用 KG 方程, 移项, 得到散度零守恒流

[angular-momentum-KG] let 是 KG 场的能动张量. 场的角动量

or

  • 规范场下 KG 场的电流

let 是 KG eq 的解. 相位改变 及其 δ 改变 属于解附近的边界固定的变分, 所以

使用 product rule + 散度量 + Stokes 定理 + 边界零

for all 值函数 , 所以

被称为 KG 场的 4-电流 [current-gauge-KG]

固定 坐标, 认为 4 电流分量是可 积分的量, 则有零分量即电荷守恒 [conserved-spatial-integral-charge-KG]

注意非正定性, 是 anti-Hermitian 的