1. notice
  3. English
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  7. 2. logic
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  9. 4. map
  10. 5. order
  11. 6. combinatorics
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  14. 7. real-numbers
  15. 8. limit-sequence
  16. 9. ℝ^n
  17. 10. Euclidean-space
  18. 11. Minkowski-space
  19. 12. polynomial
  20. 13. analytic-Euclidean
  21. 14. analytic-Minkowski
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  30. 23. topology-struct-operation
  31. 24. exponential
  32. 25. angle
  34. geometry
  35. 26. manifold
  36. 27. metric
  37. 28. metric-connection
  38. 29. geodesic-derivative
  39. 30. curvature-of-metric
  40. 31. Einstein-metric
  41. 32. constant-sectional-curvature
  42. 33. simple-symmetric-space
  43. 34. principal-bundle
  44. 35. group-action
  45. 36. stereographic-projection
  46. 37. Hopf-bundle
  48. field-theory
  49. 38. point-particle-non-relativity
  50. 39. point-particle-relativity
  51. 40. scalar-field
  52. 41. scalar-field-current
  53. 42. scalar-field-non-relativity
  54. 43. projective-lightcone
  55. 44. spacetime-momentum-spinor-representation
  56. 45. Lorentz-group
  57. 46. spinor-field
  58. 47. spinor-field-current
  59. 48. electromagnetic-field
  60. 49. Laplacian-of-tensor-field
  61. 50. Einstein-metric
  62. 51. interaction
  63. 52. harmonic-oscillator-quantization
  64. 53. spinor-field-misc
  65. 54. reference
  67. 中文
  68. 55. notice
  69. 56. feature
  71. 逻辑
  72. 57. 逻辑
  73. 58. 集合论
  74. 59. 映射
  75. 60. 序
  76. 61. 组合
  78. 微积分
  79. 62. 实数
  80. 63. 数列极限
  81. 64. ℝ^n
  82. 65. Euclidean 空间
  83. 66. Minkowski 空间
  84. 67. 多项式
  85. 68. 解析 (Euclidean)
  86. 69. 解析 (Minkowski)
  87. 70. 解析 struct 的操作
  88. 71. 常微分方程
  89. 72. 体积
  90. 73. 积分
  91. 74. 散度
  92. 75. 网极限
  93. 76. 紧致
  94. 77. 连通
  95. 78. 拓扑 struct 的操作
  96. 79. 指数函数
  97. 80. 角度
  99. 几何
  100. 81. 流形
  101. 82. 度规
  102. 83. 度规的联络
  103. 84. Levi-Civita 导数
  104. 85. 度规的曲率
  105. 86. Einstein 度规
  106. 87. 常截面曲率
  107. 88. simple-symmetric-space
  108. 89. 主丛
  109. 90. 群作用
  110. 91. 球极投影
  111. 92. Hopf 丛
  113. 场论
  114. 93. 非相对论点粒子
  115. 94. 相对论点粒子
  116. 95. 纯量场
  117. 96. 纯量场的守恒流
  118. 97. 非相对论纯量场
  119. 98. 光锥射影
  120. 99. 时空动量的自旋表示
  121. 100. Lorentz 群
  122. 101. 旋量场
  123. 102. 旋量场的守恒流
  124. 103. 电磁场
  125. 104. 张量场的 Laplacian
  126. 105. Einstein 度规
  127. 106. 相互作用
  128. 107. 谐振子量子化
  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

cf. 纯量场的作用量

对称性与守恒流

  • 时空平移

时空平移不固定 "边界". 变分非零. 类似于点粒子的时间的平移的情况. let

一般地, 区域改变通过 通过 δ diffeomorphism 给出

另一方面, 使用变量替换公式

交换微分和积分

将其应用于

考虑 平移的变分的作用量的微分. let . 一阶微分

use product rule

收集的 项是零 by Lagrange-equation

得到

for all 区域 ==> 被积项也相等

[energy-momentum-tensor-KG]

散度零

for 计算

or

可以看到这个 EM tensor 在指标下降后 是 symmetric 的

再加上 KG 作用量 是实数值, 从而其 EM tenosr 是实数值

假设 的 EM tensor 可对 积分. 使用记号 . energy

一般 potential =>

relativity scalar field 的能量是实数且是正的

[conserved-spatial-integral-energy-KG]

固定 坐标, 认为 是可 积分的量

只要假设通量密度 就有 time invariant of

  • . 场的能量守恒

  • . 场的动量 (?) 守恒

其它 分量 e.g. , 是沿 方向 invariant. 使用 , 的积分及其 . 区域逼近的极限 是对双曲测地线球 (多半径)

Example 对于平面波展开

能量是 (Question)

  • 旋转和 boost

对于场, 无论是空间旋转还是 boost, 即使 Lagrangian 不变, 作用量还是改变

现在用记号

  • 的空间旋转. 则 所以切向量是

    设 是空间旋转轴, 则切向量将是

  • 的 boost. 则 所以切向量是

    设 是空间 boost 轴, 则切向量将是 ( 时空 metric 有负定空间)

现在用记号 . 旋转和 boost 的切向量合起来记为 , 作为 δ 时空旋转 作用在场 , 作为 δ diffeomorphism

利用 KG 方程, 移项, 得到散度零守恒流

[angular-momentum-KG] let 是 KG 场的能动张量. 场的角动量

or

  • 规范场下 KG 场的电流

let 是 KG eq 的解. 相位改变 及其 δ 改变 属于解附近的边界固定的变分, 所以

使用 product rule + 散度量 + Stokes 定理 + 边界零

for all 值函数 , 所以

被称为 KG 场的 4-电流 [current-gauge-KG]

固定 坐标, 认为 4 电流分量是可 积分的量, 则有零分量即电荷守恒 [conserved-spatial-integral-charge-KG]

注意非正定性, 是 anti-Hermitian 的