note-math

cf. #link(<Klein--Gordon-Lagrangian>)[纯量场的作用量]

对称性与守恒流

时空平移

时空平移不固定 $ℝ^{1, 3}$ "边界". 变分非零. 类似于点粒子的时间的平移的情况. let $𝑈 \subset ℝ^{1, 3}$

\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑈 + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑥 (𝑓 (𝑥)) = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝑥} 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑎)

一般地, 区域改变通过 $exp (𝑎 (𝑥))$ #link(<vector-field-as-δ-diffeomorphism>)[通过 δ diffeomorphism] $𝑎 (𝑥)$ 给出

\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{exp (𝑠 𝑎 (𝑥)) 𝑈} 𝑑 𝑥 (𝑓 (𝑥)) = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝑥} 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑎 (𝑥))

另一方面, 使用变量替换公式

\int_{𝑈 + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑥 (𝑓 (𝑥)) = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (𝑓 (𝑥 + 𝑠 𝑎))

交换微分和积分

\frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (𝑓 (𝑥 + 𝑠 𝑎)) = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} 𝑓 (𝑥 + 𝑠 𝑎)

将其应用于

\begin{matrix} 𝑓 (𝑥) & = & 𝐿 (ϕ (𝑥), \partial ϕ (𝑥)) \end{matrix}

考虑 $𝑎 = 𝑒_{𝜈} \in ℝ^{1, 3}$ 平移的变分的作用量的微分. let $Δ ϕ = lim_{𝜏 \to 0} \frac{1}{𝜏} (ϕ (𝑥 + 𝜏 𝑒_{𝜈}) - ϕ (𝑥)) = \partial_{𝜈} ϕ$ . 一阶微分 $Δ 𝑆 =$

\begin{matrix} \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} \int_{𝑈 + 𝑠 𝑎} 𝑑 𝑥 (𝐿) & = & \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 \frac{𝑑}{𝑑 𝑠} 𝑓 (𝑥 + 𝑠 𝑎) \\ \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝜈} 𝐿) & = & \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\frac{\partial 𝐿}{\partial ϕ} \cdot Δ ϕ + \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} Δ ϕ) \end{matrix}

use product rule

\partial_{𝑥}^{†} (\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot Δ ϕ) = (\partial_{𝑥}^{†} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)}) \cdot Δ ϕ + \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} Δ ϕ

收集的 $Δ ϕ$ 项是零 by Lagrange-equation

\frac{\partial 𝐿}{\partial ϕ} - \partial_{𝑥}^{†} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} = 0

得到

\begin{matrix} \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝜈} 𝐿) & = & \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\partial_{𝑥}^{†} (\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot Δ ϕ)) \end{matrix}

for all 区域 $𝑈 \subset ℝ^{1, 3}$ ==> 被积项也相等

energy-momentum-tensor-KG_(tag)

𝑇 = 𝑇_{𝜈}^{𝜇} = {\begin{matrix} \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜇} ϕ)} \cdot \partial_{𝜈} ϕ & if 𝜇 \neq 𝜈 \\ \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜈} ϕ)} \cdot \partial_{𝜈} ϕ - 𝐿 & if 𝜇 = 𝜈 \end{matrix}

散度零 $\partial^{†} 𝑇 = \partial_{𝜇} 𝑇_{𝜈}^{𝜇} = 0$

for $𝐿 (ϕ, \partial_{𝑥} ϕ) = \frac{1}{2} (\partial ϕ^{*} \cdot \partial ϕ - 𝑚^{2} ϕ^{*} ϕ)$ 计算

\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝜇} ϕ)} \cdot \partial_{𝜈} ϕ = Re (\partial^{𝜇} ϕ^{*} \partial_{𝜈} ϕ)

or $\frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} = Re (\partial_{𝑥} ϕ^{*} \cdot)$

可以看到这个 EM tensor 在指标下降后 $𝑇_{𝜇 𝜈} = Re (\partial_{𝜇} ϕ^{*} \partial_{𝜈} ϕ)$ 是 symmetric 的 $𝑇_{𝜇 𝜈} = 𝑇_{𝜈 𝜇}$

再加上 KG 作用量 $𝐿$ 是实数值, 从而其 EM tenosr 是实数值

假设 $ℝ^{1, 3}$ 的 EM tensor 可对 $ℝ^{3}$ 积分. 使用记号 $(𝑥_{0}, 𝑥) \in ℝ^{1, 3}$ . energy

𝐸 = \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{0}^{0}) = \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 \frac{1}{2} (| \partial_{0} ϕ |^{2} + | \partial_{𝑥} ϕ |^{2} + 𝑚^{2} | ϕ |^{2})

一般 potential $𝑚^{2} | ϕ |^{2}$ => $𝑉 (| ϕ |^{2})$

relativity scalar field 的能量是实数且是正的

conserved-spatial-integral-energy-KG_(tag)

固定 $ℝ^{1, 3}$ 坐标, 认为 $𝑇_{𝜇}^{0}$ 是可 $ℝ^{3}$ 积分的量

\begin{matrix} \partial_{0} \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{𝜇}^{0}) & = & \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (\partial_{0} 𝑇_{𝜇}^{0}) \\ = & - \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (\partial_{1} 𝑇_{𝜇}^{1} + \partial_{2} 𝑇_{𝜇}^{2} + \partial_{3} 𝑇_{𝜇}^{3}) by \partial^{†} 𝑇_{𝜇} = 0 \\ = & - lim_{𝑟 \to \infty} \int_{𝔹^{3} (𝑟)} 𝑑 𝑥 (div 𝑇_{𝜇}^{𝑥}) \\ = & - lim_{𝑟 \to \infty} \int_{𝕊^{2} (𝑟)} 𝑑 Vol (𝑇_{𝜇}^{𝑥} \cdot \frac{𝑥}{| 𝑥 |}) \end{matrix}

只要假设通量密度 $𝑟 \to \infty ⟹ 𝑇_{𝜇}^{𝑥} \cdot \frac{𝑥}{| 𝑥 |} \to 0$ 就有 time invariant of $\int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{𝜇}^{0})$

$𝑇_{0}^{0} = \frac{1}{2} (| \partial_{0} ϕ |^{2} + | \partial_{𝑥} ϕ |^{2} + 𝑚^{2} | ϕ |^{2})$ . 场的能量守恒 $\partial_{0} 𝐸 = 0$
$𝑇_{𝑥}^{0} = Re (\partial_{0} ϕ^{*} \partial_{𝑥} ϕ)$ . 场的动量 (?) 守恒

其它 $𝑇$ 分量 e.g. $\int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (𝑇_{𝜇}^{1})$ , 是沿 $𝑥_{1}$ 方向 invariant. 使用 $\partial_{1}$ , $ℝ^{1, 2}$ 的积分及其 $div$ . 区域逼近的极限 $lim_{𝑟 \to \infty}$ 是对双曲测地线球 (多半径)

Example 对于平面波展开

ϕ (𝑥) = \int_{\begin{matrix} {ℍ 𝕪}^{3} \\ 𝕊 (Im ℂ) \end{matrix}} 𝑑 𝑝 𝑑 i (𝑎 (𝑝, i) 𝑒^{𝑝 𝑥 i})

能量是 (Question)

𝐸 = \int_{\begin{matrix} {ℍ 𝕪}^{3} \\ 𝕊 (Im ℂ) \end{matrix}} 𝑑 𝑝 𝑑 i (𝑝_{0}^{2} {| 𝑎 (𝑝, i) |}^{2})

旋转和 boost

对于场, 无论是空间旋转还是 boost, 即使 Lagrangian 不变, 作用量还是改变

现在用记号 $(𝑥_{0}, 𝑥), (\partial_{0}, \partial_{𝑥}) \in ℝ^{1, 3}$

$𝑖, 𝑗$ 的空间旋转. $(𝑥_{𝑖}, 𝑥_{𝑗}) = 𝑟 (cos 𝑡, sin 𝑡)$ 则 $\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} = 𝑟 (- sin 𝑡, cos 𝑡) = (- 𝑥_{𝑗}, 𝑥_{𝑖})$ 所以切向量是 $- 𝑥_{𝑗} \partial_{𝑖} + 𝑥_{𝑖} \partial_{𝑗}$

设 $𝑛 \in so (3) ≃ ℝ^{3}$ 是空间旋转轴, 则切向量将是 $𝑛 \cdot (𝑥 \times \partial)$
$0, 𝑖$ 的 boost. $(𝑥_{0}, 𝑥_{𝑖}) = 𝑟 (cosh 𝑡, sinh 𝑡)$ 则 $\frac{𝑑}{𝑑 𝑡} = 𝑟 (sinh 𝑡, cosh 𝑡) = (𝑥_{𝑖}, 𝑥_{0})$ 所以切向量是 $𝑥_{𝑖} \partial_{0} + 𝑥_{0} \partial_{𝑖}$

设 $𝑛 \in ℝ^{3}$ 是空间 boost 轴, 则切向量将是 $𝑛 \cdot (𝑥_{0} \partial - 𝑥 \partial_{0})$ ( $ℝ^{1, 3}$ 时空 metric 有负定空间)

现在用记号 $𝑥, \partial_{𝑥} \in ℝ^{1, 3}$ . 旋转和 boost 的切向量合起来记为 $[𝑥, \partial_{𝑥}]$ , 作为 δ 时空旋转 $so (1, 3)$ 作用在场 $ϕ$ , 作为 δ diffeomorphism

\int_{𝑈} 𝑑 𝑥 ([𝑥, \partial] 𝐿) = \int_{𝑈} 𝑑 𝑥 (\frac{\partial 𝐿}{\partial ϕ} \cdot [𝑥, \partial_{𝑥}] ϕ + \frac{\partial 𝐿}{\partial (\partial_{𝑥} ϕ)} \cdot \partial_{𝑥} [𝑥, \partial_{𝑥}] ϕ)

利用 KG 方程, 移项, 得到散度零守恒流

angular-momentum-KG_(tag) let $𝑇$ 是 KG 场的能动张量. 场的角动量

𝑀 = [𝑥, 𝑇]

𝑀_{𝜇 𝜈}^{𝜆} = [𝑥_{𝜇}, 𝑇_{𝜈}^{𝜆}]

规范场下 KG 场的电流

let $ϕ (𝑥)$ 是 KG eq 的解. 相位改变 $𝑒^{𝜃 (𝑥)} ϕ (𝑥)$ 及其 δ 改变 $𝜃 ϕ$ 属于解附近的边界固定的变分, 所以

\begin{matrix} 0 & = & \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 \frac{1}{2} (\partial (- 𝜃 ϕ^{*}) \cdot \partial ϕ + \partial ϕ^{*} \cdot \partial (𝜃 ϕ)) \\ = & \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 \frac{1}{2} (- ϕ^{*} \partial ϕ + ϕ \partial ϕ^{*}) \cdot \partial 𝜃 \end{matrix}

使用 product rule + 散度量 + Stokes 定理 + 边界零

0 = \int_{ℝ^{1, 3}} 𝑑 𝑥 (\frac{1}{2} \partial^{†} (- ϕ^{*} \partial ϕ + ϕ \partial ϕ^{*}) 𝜃)

for all $Im (ℂ)$ 值函数 $𝜃 (𝑥)$ , 所以

\forall 𝑥 \in ℝ^{1, 3}, \partial^{†} (- ϕ^{*} \partial ϕ + ϕ \partial ϕ^{*}) = 0

$- ϕ^{*} \partial ϕ + ϕ \partial ϕ^{*}$ 被称为 KG 场的 4-电流 current-gauge-KG_(tag)

$- ϕ^{*} \partial ϕ + ϕ \partial ϕ^{*} = - Im (ϕ^{*} \partial ϕ)$

固定 $ℝ^{1, 3}$ 坐标, 认为 4 电流分量是可 $ℝ^{3}$ 积分的量, 则有零分量即电荷守恒 conserved-spatial-integral-charge-KG_(tag)

0 = \partial_{𝑡} \int_{ℝ^{3}} 𝑑 𝑥 (- ϕ^{*} \partial_{𝑡} ϕ + ϕ \partial_{𝑡} ϕ^{*}) = \partial_{𝑡} 𝑄

注意非正定性, $(ϕ, 𝜓) ⇝ - 𝜓^{*} \partial_{𝑡} ϕ + ϕ \partial_{𝑡} 𝜓^{*}$ 是 anti-Hermitian 的