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note-math

自然数 的加法

是数 次 , 是先数 次, 再数 次

  • 结合律:
  • 交换律:

Proof 在现实世界的直观是, 对于数数 , 无论怎样把数数任务手动分成几个子任务, 都不会影响结果, 而且总的分解方式有限. 加法结合律和交换律只是其中的特殊情况. 就像我们通过数数来认识自然数一样, 我们总是可以通过数数认识交换律和结合律. 所有东西都 reduce to 完全加法分解的情况, 只有大量 的交换律和结合律

对计算机来说似乎难以表达这种直观, 但似乎所有的有限结果一定会正确. 类似于 自然数中所做的, 为了让计算机能用有限的字符和内存以及有限的时间 (以及潜在的无限时间) 去表达这种对所有自然数成立的性质, 需要定义 (假设, 公理) 它是 true proposition

通常的证明是使用最小的假设 (公理), 的结合律 或者加法的定义 , 然后推出其它

极端地说, 如果我们总是将可以用少量公理证明的结论设为公理, 那么我们就没有任何证明了. 因此我们可能会使用最少公理, 不过至少我让选择假设更对称性的

自然数 的乘法

是数 次的数 次

也满足交换律和结合律. 在现实世界的直观是 "二维和三维矩形", 对于数数 , 无论分解成怎么样的 product 分解的子任务, 都不影响结果. 所以乘法交换律和结合律只是完全乘法分解 i.e. 素数分解的特殊情况, 而且总分解次数有限

自然数运算分配律

直观是用二维矩形的边长的 sum 分解

整数

数轴有两个方向

有理数

等分操作, 乘法的逆

不要混淆于 的除, 余, 那是一个数 另一个数 的逐次减法, 而不是等分

实数

实数的一种直观是长度. 或者包含有理数 + 线序 + 序完备

鉴于实数的直观性, 可以认为它存在, 用很多公理去定义实数 i.e. 假设 true proposition. 但也可以从有理数 "恢复" 实数

无理数的例子

代数整数

代数整数里的 "整数" 是因为

Proof (p.43 of ref-8)

取 互素. 代入方程, 乘

右边被 整除. 但 互素, 所以 或 .

从而 . 从而

特殊情况 . 但是 且

所以 即 不是有理数

代数数

注意不要求 , 不限制 , 包含所有有理数 , 部分无理数 e.g.

代数数 是可数集, 实数 是不可数集

超越数 . 是超越数

十进制, 二进制 vs 区间套 vs 分割

十进制 (区间套) 似乎很直观

然而十进制并不能原生地处理

很多不同 区间套有相同极限, e.g. vs , 需要 limit-distance-vanish 系 quotient

let . let and , 定义 的 limit-distance-vanish 等价关系 (alias Cauchy 收敛) :=

可以把 有理数区间套改为一般的长度 极限 趋于零的有理数区间 线序链 或者更一般的长度趋于零的有理数区间 (极大的) 网

有理数区间是子集 with property 序不中断

从操作简单性来说, 应该用 Dedekind-cut. "操作简单" 是指

  • let , 一一对应
  • 所以 和 一一对应

[Dedekind-cut] 无理数

一一对应到

. 将 重新记为

实数

  • [order-real] 序

let

  • [add-real] 加法. let

由于 的存在, 乘法不保持序. 但是 的乘法保持序. 先处理 的情况, 再用反射 得到 的情况

  • [multiply-real] 乘法. let

的 都有结合律, 交换律, 分配律

完备性 [completeness-real]

[exact-bound] 确界原理

let 有上界

上确界

[monotone-convergence] 单调有界 收敛 Proof use 确界原理

[nested-closed-interval-theorem] 闭区间套定理

无论是 区间套还是 线序链区间套, 线序意味着区间端点单调性, 对端点用上确界 下确界 with 得到闭区间套交集是闭区间 . 可以理解为 线序链区间套的最小元

[closed-interval-net-theorem] 闭区间 网 交集非空

Proof

对网 补充所有的有限交集

取一个 极大线序链 . 由闭区间套定理, 其交集是非空闭区间

由 的线序极大性, 直觉上, 闭区间 将小于所有 的闭区间, 从而

, 我们证明

定义闭区间线序链 . . 我们证明

反证法. 假设 . 那么 的 小/大 端点 大/小 于 的 小/大 端点

线序链满足

  • 如果闭区间 , 那么对端点使用 确界原理

存在 属于 , 矛盾于 是 极大线序链

  • 如果闭区间 , 同理矛盾

let

def 序列 单调递减, 单调递增

[limsup] 上极限

[liminf] 下极限

Example

对于 序列定义

对于一般 net 定义

[limit-distance-vanish-sequence] := . i.e. tail distance vanish

[limit-distance-vanish-net] :=

[Cauchy-completeness-real] limit-distance-vanish 序列 or net 收敛

Proof

无界 ==>

==> limit-distance-vanish 序列有界

==> 单调增减有界序列 有极限

limit-distance-vanish 性质 ==>

从而 收敛到

对网, 由闭区间网定理, let . 使用 limit-distance-vanish-net 得到 net 收敛

反过来, 收敛序列是 limit-distance-vanish 的. by 三角不等式

序列 or net 收敛到 <==> limit-distance-vanish

[uncountable-real] 实数不可数

已经证明了 . cf. cardinal-increase

recall

Proof

根据区间套定理, 实数的二进制小数点表示: 第 位取 或

==> . 其中, 把二进制中可能的两种等价的选择 quotient

by 线性映射 or 仿射映射

by

Proof

它代表二进制中, 出现的第一个位置是 , 第二个位置是 …

对比 , vs

距离