note-math

orientation-of-real-linear-space_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 方向

$𝐴 \in GL (𝑛, ℝ), det 𝐴 \neq 0$

$ℝ ∖ 0 = ℝ_{< 0} ⊔ ℝ_{> 0}$

$GL (𝑛, ℝ) = {det}^{- 1} (ℝ_{< 0}) ⊔ {det}^{- 1} (ℝ_{> 0})$

有两个方向. 对于 $ℝ^{𝑛}$ 向量基, 交换一次顺序 $𝑒_{𝑖} \leftrightarrow 𝑒_{𝑗}$ 会使得方向改变, 引入 $- 1$ 因子. 这和交错张量有相似之处. 方向定义为基的同向 quotient, 等价于 $GL (𝑛, ℝ)$ 的 ${det}^{- 1} (ℝ_{< 0}) ⊔ {det}^{- 1} (ℝ_{> 0})$ 分解

orientation-of-boundary-of-simplex_(tag)

simplx 有向边界. simplex ${𝑥_{0}, \dots, 𝑥_{𝑛}}$ 边界 ${𝑥_{0}, \dots, 𝑥_{𝑛} ∖ 𝑥_{𝑖}}$ 的方向是, 给边界所在的 $𝑛 - 1$ 仿射子空间定义方向, 使得内部 $𝐴$ 在 $𝑛$ 维正方向, 外部 $𝐴^{∁}$ 在 $𝑛$ 维负方向

如果对边界的边界继续定义方向, 就会发现相邻方向抵消

simplex 顶点根据 $𝑥_{0} \to 𝑥_{1} \to \dots \to 𝑥_{𝑛}$ 可以构造 $ℝ^{𝑛}$ 有向基. 置换使得方向相差 $sign (𝜇)$

选取 $𝑥_{0}, \dots, 𝑥_{𝑛}$ 为 $ℝ^{𝑛}$ 正方向后, 边界的方向是 ${(- 1)}^{𝑖 - 1} 𝑥_{0}, \dots, 𝑥_{𝑛} ∖ 𝑥_{𝑖}$

对 box 也类似

Example 四面体, 右手定则, 拇指指向四面体内部得到边界方向 (图片的顶点的指标从 $1$ 而不是 $0$ 开始)

orientable-low-dim-polyhera_(tag) 多面体 #link(<orientation-of-boundary-of-simplex>)[可定向] 定义为, 用 simplex 构造多面体时, 能够对所有 $𝑘$ simplex 定义兼容的方向, 使得相邻两个 $𝑘$ simplex $𝐴, 𝐵$ 的 $𝑘 - 1$ 相接边界 simplex 的方向兼容 i.e. 方向 $𝑂$ 对应 simplex $𝐴$ 的内部和 simplex $𝐵$ 的外部. 方向 $- 𝑂$ 对应 simplex $𝐵$ 的内部和 simplex $𝐴$ 的外部. i.e. simplex 分割有良定义内部和外部

Mobius-strip_(tag) Example 不可定向的 Mobius 型多面体 (image modified from wiki)

不管怎么定义每个 $𝑘$ simplex 的方向, 都存在一对相邻 $𝑘$ simplex $𝐴, 𝐵$ 的 $𝑘 - 1$ 相接边界 simplex 的方向不兼容. i.e. simplex 分割没有良定义的内部和外部

从初始 $𝑘$ simplex 开始, 不断传递地对相邻 $𝑘$ simplex 定义兼容的方向, 绕一圈会导致相接边界 simplex 的方向不兼容. 方向 $𝑂$ 都对应 $𝐴, 𝐵$ 内部, 方向 $- 𝑂$ 都对应 $𝐴, 𝐵$ 外部

simplex-chain_(tag) simplex chain

boundary-operator_(tag)

边界算子 $\partial$

boundary $𝑐_{𝑘} = \partial_{𝑘 + 1} 𝑐_{𝑘 + 1}$

Example

boundary-op-not-injective
tri-intersect-boundary_(tag)

cycle $\partial 𝑐 = 0$

$\partial^{2} = 0$ or $\partial_{𝑘} \partial_{𝑘 + 1} = 0$

$im \partial \subset ker \partial$ or $im \partial_{𝑘 + 1} \subset ker \partial_{𝑘}$

simplex-homology_(tag)

k-th homology $𝐻_{𝑘} (ℝ^{𝑛}) = \frac{ker \partial_{𝑘}}{im \partial_{𝑘 + 1}}$

where $ker \partial_{𝑘}, im \partial_{𝑘 + 1}$ 在 $𝑘$ chain 空间

由于几何意义, 只需要 $ℤ$ 系数

real-linear-space-trivial-homology_(tag)

$ℝ^{𝑛}$ is trivial homology $\forall 𝑘 = 1, \dots, 𝑛, 𝐻_{𝑘} (ℝ^{𝑛}) = 0$ or $ker \partial_{𝑘} = im \partial_{𝑘 + 1}$ or in $ℝ^{𝑛}$ , $𝑐$ 的边界是零 <==> $𝑐$ 是边界

Try to prove it by purely affine orientation & combinatorics technique, avoid Euclidean topology

existence-and-uniqueness-of-n-simplex-chain-with-boundary_(tag)

in $ℝ^{𝑛}$ , uniqueness $𝑛$ chain of $𝑛 - 1$ boundary

𝐻_{𝑛} = 0 ⟹ ker \partial_{𝑛} = im \partial_{𝑛 + 1} = 0

so existence of boundary of nonzero $𝑛$ chain

\begin{matrix} \forall 𝑐 \in 𝐶_{𝑛}, \partial 𝑐 = 0 & ⟹ & 𝑐 \in ker \partial_{𝑛} = 0 \\ ⟹ & 𝑐 = 0 \end{matrix}

and uniqueness of $𝑛$ dim region surround by $codim = 1$ boundary

\begin{matrix} (𝑐, 𝑐^{'} \in 𝐶_{𝑛}) \land (\partial_{𝑛} 𝑐 = \partial_{𝑛} 𝑐^{'}) & ⟹ & \partial_{𝑛} (𝑐 - 𝑐^{'}) = 0 \\ ⟹ & 𝑐 - 𝑐^{'} \in ker \partial_{𝑛} = 0 \\ ⟹ & 𝑐 = 𝑐^{'} \end{matrix}

homology-hole_(tag) 对于集合 $ℝ^{𝑛}$ 减去有限个或可数个分离的线性子空间或者多面体, homology 不是零

Stokes-theorem_(tag)

类似于一维 #link(<fundamental-theorem-of-calculus>)[微积分基本定理]

在坐标里定义 exterior-differential_(tag) $𝑑 𝜔 (𝑥) = lim_{𝜎 \to 𝑥} \frac{\int_{\partial 𝜎} 𝜔}{Vol (𝜎)} Vol$ , 其中 $Vol$ 是坐标的体积, $𝜎$ 是一大类型区域, 计算结果不依赖于坐标选取

则有 Stokes-theorem

for #link(<orientable>)[可定向] 的几乎处处解析的带边流形, $\int_{\partial 𝑀} 𝜔 = \int_{𝑀} 𝑑 𝜔$ or $⟨ \partial 𝑀, 𝜔 ⟩ = ⟨ 𝑀, 𝑑 𝜔 ⟩$

坐标中利用 box 计算 $𝑑 𝜔 (𝑥) = lim_{𝜎 \to 𝑥} \frac{\int_{\partial 𝜎} 𝜔}{Vol (𝜎)} Vol$ , 全部坐标趋于 $0$ , 将会是对每个坐标轴方向计算对某些东西的偏微分 $\partial_{𝑖}$ , 结果是 $𝑑 𝜔 = 𝑑 (𝜔_{𝑖_{1} \dots 𝑖_{𝑘}} 𝑑 𝑥^{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑑 𝑥^{𝑖_{𝑘}}) = \partial_{𝑖} 𝜔_{𝑖_{1} \dots 𝑖_{𝑘}} 𝑑 𝑥^{𝑖} \land 𝑑 𝑥^{𝑖_{1}} \land \dots \land 𝑑 𝑥^{𝑖_{𝑘}}$ , 进一步简化暂略

Question simplex 中心仿射坐标下, 外微分的计算结果的形式是什么?

但是在一维微积分基本定理的证明中, 一维区间的分割, 一维区间的边界, 一维区间的边界的积分, 都太简单了, 高维区域没那么简单

Stokes-theorem-simple_(tag) 对于高维, 如果是弯曲的, 则很困难. 先处理直的东西 i.e. simplex or 平行体. 分割也是同类型区域, 边界抵消也很简单. 再类似于一维, 用微分中值定理近似 + compact 控制即可. 这样就证明了 $ℝ^{𝑛}$ simplex or 平行体的 Stokes 定理

Stokes-theorem-proof_(tag) Question

使用流形上的对 form 积分的定义所使用的近似方法 #link(<integral-on-manfold>)[]

近似地分解为 simplex or box, 然后用 simplex 的 stokes 定理 + 内部边界抵消, 就只剩下真正的流形的边界

需要使用 $𝑛 - 1$ form $𝜔$ 对子流形的积分 #link(<integral-on-submanfold>)[]

边界上的逼近可能需要特别注意. 例如, 应该让边界上的逼近使用中心在边界上的 simplex (box) 以及微分 at 边界上的点

大概需要 $𝑛 - 1$ form 的某种 Sobolev 控制?

我并没有对没有边界的流形处理 Stokes 定理, 并没有定义 $\partial 𝑀 ≔ \emptyset \land \int_{\partial 𝑀} 𝜔 ≔ \int_{\emptyset} 𝜔 = 0$ . 没有的边界流形 Example $ℝ^{𝑛}$

边界算子与外微分的对应性质

homology

cohomology

coboundary-operator_(tag)

coboundary $𝜔_{𝑘} = 𝑑_{𝑘 - 1} 𝜔_{𝑘 - 1}$

cocycle $𝑑 𝜔 = 0$ . 直观是这一点的 form 的散度是零

$𝑑^{2} = 0$ or $𝑑_{𝑘} 𝑑_{𝑘 - 1} = 0$

$im 𝑑 \subset ker 𝑑$ or $im 𝑑_{𝑘 - 1} \subset ker 𝑑_{𝑘}$

de-Rham-cohomolgy_(tag) k-th de Rham cohomology $𝐻^{𝑘} (𝑀) = \frac{ker 𝑑_{𝑘}}{im 𝑑_{𝑘 - 1}}$

in $ℝ^{𝑛}$ , cohomology trivial $\forall 𝑘 = 1, \dots, 𝑛, 𝐻^{𝑘} = 0$

cohomology-hole_(tag) 带 "洞" 的 form. Example in $ℝ^{2}$ , $𝑑 \frac{1}{𝑟}$ or $\frac{- 𝑥_{2}}{| 𝑥 |^{2}} 𝑑 𝑥_{1} + \frac{𝑥_{1}}{| 𝑥 |^{2}} 𝑑 𝑥^{2}$ 在 $𝑥 = 0$ 是奇点. 在非 $ℝ^{𝑛}$ 的流形, 可能即使函数没有奇点, form 和 Stokes 定理也能将流形的洞表现出来. Example $𝕊^{1}$ or $𝕊^{1} \times 𝕊^{1}$

metric 流形的情况

对 $𝑘$ form $𝜔$ 的积分相当于对 $⟨ 𝜔, {Vol}_{𝑘} ⟩ {Vol}_{𝑘}$ 的积分

Hodge-star_(tag)

Hodge star 算子 as form 的正交补对偶

$⋆ : {(⋀^{𝑘} ℝ^{𝑛})}^{⊺} \to {(⋀^{𝑛 - 𝑘} ℝ^{𝑛})}^{⊺}$

$⋆ 𝜔$ with $𝜔 \land ⋆ 𝜔 = ⟨ 𝜔, 𝜔 ⟩ {Vol}_{𝑛}$ ==> $𝜔 \land ⋆ 𝜂 = ⟨ 𝜔, 𝜂 ⟩ {Vol}_{𝑛}$

$⋆^{2} = 𝟙$ ==> $⟨ 𝜔, 𝜂 ⟩ = ⟨ ⋆ 𝜔, ⋆ 𝜂 ⟩$

$⋆ {Vol}_{𝑘} = {Vol}_{𝑛 - 𝑘}$

flux_(tag)

对 $𝑘$ form $𝜔$ 积分 -> 对 $⟨ 𝜔, {Vol}_{𝑘} ⟩ {Vol}_{𝑘}$ 积分 -> 对 $⟨ ⋆ 𝜔, ⋆ {Vol}_{𝑛 - 𝑘} ⟩ {Vol}_{𝑘}$ 积分, 解释为通过 ${Vol}_{𝑘}$ 的正交补 $⋆ {Vol}_{𝑘} = {Vol}_{𝑛 - 𝑘}$ 的量 $⟨ ⋆ 𝜔, {Vol}_{𝑛 - 𝑘} ⟩$ 对 ${Vol}_{𝑘}$ 积分, i.e. 通量

用 #link(<metric-dual>)[] ${(⋆ 𝜔)}^{♯}, {({Vol}_{𝑛 - 1})}^{♯} \in ⋀^{𝑛 - 𝑘} ℝ^{𝑛}$ 代表通量 $𝑛 - 𝑘$ 交错张量, 内积代表量 ${(⋆ 𝜔)}^{♯}$ 在通量方向 ${({Vol}_{𝑛 - 1})}^{♯}$ 上的正交投影

Example in Euclidean $ℝ^{3}$ , $⋀^{1} ℝ^{3} ≃ ⋀^{2} ℝ^{3} ≃ ℝ^{3}$ (图)

$0$ form

$𝑑 𝜔 \in {(⋀^{1} ℝ^{3})}^{⊺} ⟷ {(⋆ 𝑑 𝜔)}^{♯} = grad 𝜔 \in ⋀^{2} ℝ^{3}$

坐标

grad 𝑓 = (\begin{matrix} \partial_{1} 𝑓 \\ \partial_{2} 𝑓 \\ \partial_{3} 𝑓 \end{matrix})

Stokes 定理 gradient_(tag)

\begin{matrix} 𝜔 (𝑥_{1}) - 𝜔 (𝑥_{0}) & = & \int_{\partial 𝑀} 𝜔 \\ = & \int_{𝑀} 𝑑 𝜔 \\ = & \int_{𝑙} ⟨ grad 𝜔, 𝑑 𝑙 ⟩ \end{matrix}

$1$ form

$𝑑 𝜔 \in ⋀^{2} ℝ^{3} ⟷ {(⋆ 𝑑 𝜔)}^{♯} = curl 𝜔^{♯} \in ⋀^{1} ℝ^{3}$

坐标

curl (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \partial_{2} 𝑣_{3} - \partial_{3} 𝑣_{2} \\ \partial_{3} 𝑣_{1} - \partial_{1} 𝑣_{3} \\ \partial_{1} 𝑣_{2} - \partial_{2} 𝑣_{1} \end{matrix})

$𝜔^{♯} \in ⋀^{1} ℝ^{3}$

Stokes 定理 curl_(tag)

\begin{matrix} \int_{\partial 𝑆} ⟨ 𝜔^{♯}, 𝑑 𝑙 ⟩ & = & \int_{\partial 𝑀} 𝜔 \\ = & \int_{𝑀} 𝑑 𝜔 \\ = & \int_{𝑆} ⟨ curl 𝜔^{♯}, 𝑑 𝑆 ⟩ \end{matrix}

where $𝑛 = ⋆ {Vol}_{2} = {Vol}_{1}$

$2$ form

$𝑑 𝜔 \in ⋀^{3} ℝ^{3} ⟷ {(⋆ 𝑑 𝜔)}^{♯} = 𝜔^{♯} \in ⋀^{0} ℝ^{3}$

坐标

div (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix}) = \partial_{1} 𝑣_{1} + \partial_{2} 𝑣_{2} + \partial_{3} 𝑣_{3}

$𝜔^{♯} \in ⋀^{2} ℝ^{3}$

Stokes 定理 divergence_(tag)

\begin{matrix} \int_{\partial 𝑉} ⟨ 𝜔^{♯}, 𝑑 𝑆 ⟩ & = & \int_{\partial 𝑀} 𝜔 \\ = & \int_{𝑀} 𝑑 𝜔 \\ = & \int_{𝑉} ⟨ div 𝜔^{♯}, 𝑑 𝑉 ⟩ \end{matrix}

in Minkowski $ℝ^{1, 3}$ , $⋀^{2} ℝ^{1, 3} ≃ ⋀^{4 - 2} ℝ^{1, 3}$