compact 的原初的启发: 的闭区间网的交集非空 closed-interval-net-theorem
但是
比较乘法反演的
没有 对应到可能的极限
比较
let 拓扑空间. let
[compact] compact := forall net of ,
含义: 任何 网 的元素在拓扑 下有共同的极限点集. 或者, 经过 闭包后网 收敛到非空集 or 交集非空, 而不是收敛到空集 (例如 Euclidean 收敛到空集或者收敛到无穷远, 但还有很多其它复杂的情况)
任何网都可以补充所有的有限交集并保持 相同的极限, 所以对于 compact, 等价的描述是
compact <==>
逻辑等价于
逻辑等价于 [compact-finite-open-cover]
[compact-subset] := topology-subspace compact
recall closed-in-subspace, , 记为
compact-subset 逻辑等价于
逻辑等价于
逻辑等价于 [compact-subset-finite-open-cover]
compact-subset 对有限并集封闭. this is easy to proof
[closed-set-in-compact-space-is-compact] compact and closed ==> compact
Proof
closed in ==> . by closed-in-subspace
再利用 compact 得到 从而得到 compact
Hausdorff 空间 :=
Hausdorff + compact ==> closed. 此时 compact 对任意交集封闭
[continous-preserve-compact] let . is compact-subset of
Proof
使用 topology-subspace, 只需处理情况
let be net of . to prove
is net of
compact ==>
连续函数逆像保持 closed . 使用逆像对 的 性质
满射 ==>
so , so compact
逆否命题: 连续函数下, non-compact 逆像是 non-compact 的
[quotient-topology-preserve-compact] 对于 quotient-topology , 源空间 compact ==> 商空间 compact. by 商映射 连续所以保持 compact
[product-topology-preserve-compact] product-topology 保持 compact
Proof
取 的网 , 需要证明 or
is net of
根据 compact
==>
根据闭包 的定义
==>
由积拓扑的点网系统定义和闭包 的定义
==>