note-math

compact 的原初的启发: $ℝ$ 的闭区间网的交集非空 #link(<closed-interval-net-theorem>)[]

$0$ 是 $(0, 1)$ 的 $T_{ℝ}$ 的 #link(<limit-point>)[极限点]. #link(<net>)[网] $(0, \frac{1}{𝑛})$ 看似收敛到 $0$

但是 $⋂ (0, \frac{1}{𝑛}) = \emptyset$

比较乘法反演的 $⋂ (𝑛, \infty) = \emptyset$

$ℝ$ 没有 $\infty$ 对应到可能的极限 $0$

比较 $⋂ [0, \frac{1}{𝑛}) = {0}$

let $T_{𝑋}$ #link(<topology>)[拓扑空间]. let $𝐴 \subset 𝑋$

compact_(tag) $𝐴$ compact := forall $B$ net of $𝐴$ , $⋂_{𝐵 \in B} \bar{𝐵} \neq \emptyset$

含义: 任何 #link(<net>)[网] $B$ 的元素在拓扑 $T_{𝑋}$ 下有共同的极限点集. 或者, 经过 $T_{𝑋}$ 闭包后网 $B$ 收敛到非空集 or 交集非空, 而不是收敛到空集 (例如 Euclidean $ℝ^{𝑑}$ 收敛到空集或者收敛到无穷远, 但还有很多其它复杂的情况)

任何网都可以补充所有的有限交集并保持 #link(<net-same-limit>)[相同的极限], 所以对于 compact, 等价的描述是

$T_{𝑋}$ compact <==>

\forall 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, {\bar{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\bar{𝐴}}_{𝑛} \neq \emptyset ⟹ ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq \emptyset

逻辑等价于

⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} = \emptyset ⟹ \exists 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, {\bar{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\bar{𝐴}}_{𝑛} = \emptyset

逻辑等价于 compact-finite-open-cover_(tag)

⋃_{𝐴 \in A} \overset{̊}{𝐴} = 𝑋 ⟹ \exists 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, {\overset{̊}{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\overset{̊}{𝐴}}_{𝑛} = 𝑋

compact-subset_(tag) $𝑆 \subset 𝑋$ := #link(<topology-subspace>)[] $T_{𝑆}$ compact

recall #link(<closed-in-subspace>)[], $closed (𝐴, T_{𝑆}) = 𝑆 \cap closed (𝐴, T_{𝑋})$ , 记为 $𝑆 \cap \bar{𝐴}$

compact-subset 逻辑等价于

\forall 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, 𝑆 \cap {\bar{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\bar{𝐴}}_{𝑛} \neq \emptyset ⟹ 𝑆 \cap ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq \emptyset

逻辑等价于

𝑆 \cap ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} = \emptyset ⟹ \exists 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, 𝑆 \cap {\bar{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\bar{𝐴}}_{𝑛} = \emptyset

逻辑等价于 compact-subset-finite-open-cover_(tag)

𝑆 \subset ⋃_{𝐴 \in A} \overset{̊}{𝐴} ⟹ \exists 𝐴_{1}, \dots, 𝐴_{𝑛} \in A, 𝑆 \subset {\overset{̊}{𝐴}}_{1} \cap \dots \cap {\overset{̊}{𝐴}}_{𝑛}

compact-subset 对有限并集封闭. this is easy to proof

closed-set-in-compact-space-is-compact_(tag) $T_{𝑋}$ compact and $𝑆$ closed ==> $𝑆$ compact

Proof

$𝑆$ closed in $T_{𝑋}$ ==> $\forall 𝐴 \subset 𝑆, closed (𝐴, T_{𝑆}) = closed (𝐴, T_{𝑋})$ . by #link(<closed-in-subspace>)[]

再利用 $T_{𝑋}$ compact 得到 $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq \emptyset$ 从而得到 $𝑆$ compact

Hausdorff 空间 := $\forall 𝑥, 𝑥^{'} \in 𝑋, 𝑥 \neq 𝑥^{'} ⟹ \exists 𝐵_{𝑥}, 𝐵_{𝑥^{'}} \in T_{𝑋}, 𝐵_{𝑥} \cap 𝐵_{𝑥^{'}} = \emptyset$

Hausdorff + compact ==> closed. 此时 compact 对任意交集封闭

continous-preserve-compact_(tag) let $𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ . $𝑓 (𝑋)$ is compact-subset of $T_{𝑌}$

Proof

使用 topology-subspace, 只需处理情况 $𝑓 (𝑋) = 𝑌$

let $A$ be net of $𝑌$ . to prove $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq 0$

${𝑓^{- 1} (𝐴) : 𝐴 \in A}$ is net of $𝑋$

$T_{𝑋}$ compact ==> $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝑓^{- 1} (𝐴)} \neq 0$

连续函数逆像保持 closed $\bar{𝑓^{- 1} (𝐴)} = 𝑓^{- 1} (\bar{𝐴})$ . 使用逆像对 $\cap$ 的 #link(<inverse-image>)[性质]

\emptyset \neq 𝑓 (⋂_{𝐴 \in A} 𝑓^{- 1} (\bar{𝐴})) \subset ⋂_{𝐴 \in A} 𝑓 (𝑓^{- 1} (\bar{𝐴}))

$𝑓 : 𝑋 \to 𝑌$ 满射 ==> $𝑓 (𝑓^{- 1} (\bar{𝐴})) = \bar{𝐴}$

so $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq \emptyset$ , so $T_{𝑌}$ compact

逆否命题: 连续函数下, non-compact 逆像是 non-compact 的

quotient-topology-preserve-compact_(tag) 对于 #link(<quotient-topology>)[] $𝜋 : 𝑋 ⇝ \frac{𝑋}{\sim}$ , 源空间 $𝑋$ compact ==> 商空间 $\frac{𝑋}{\sim}$ compact. by 商映射 $𝜋$ 连续所以保持 compact

product-topology-preserve-compact_(tag) #link(<product-topology>)[] 保持 compact

Proof

取 $\prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}$ 的网 $A$ , 需要证明 $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴} \neq \emptyset$ or $\exists 𝑥 \in \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}, 𝑥 \in ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴}$

${𝑓_{𝑖} (𝐴) : 𝐴 \in A}$ is net of $𝑋_{𝑖}$

根据 $𝑋_{𝑖}$ compact $⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝑓_{𝑖} (𝐴)} \neq \emptyset$

==> $\forall index 𝑖 \in 𝐼, \exists 𝑥_{𝑖} \in ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝑓_{𝑖} (𝐴)}$

根据闭包 $\bar{𝑓_{𝑖} (𝐴)}$ 的定义

\begin{matrix} \forall 𝐵_{𝑥_{𝑖}} \in B_{𝑖} (𝑥_{𝑖}) \\ 𝑓_{𝑖} (𝐴) \cap 𝐵_{𝑥_{𝑖}} \neq \emptyset \end{matrix}

==>

\begin{matrix} \emptyset & \neq & {(𝑓_{𝑖} restrict to 𝐴)}^{- 1} (𝑓_{𝑖} (𝐴) \cap 𝐵_{𝑥_{𝑖}}) \\ = & 𝐴 \cap 𝑓_{𝑖}^{- 1} (𝐵_{𝑥_{𝑖}}) \end{matrix}

由积拓扑的点网系统定义和闭包 $\bar{𝐴}$ 的定义

==> $\exists 𝑥 \in \prod_{𝑖 \in 𝐼} 𝑋_{𝑖}, 𝑥 \in ⋂_{𝐴 \in A} \bar{𝐴}$