虽然流形上的积分是考虑不限制于特殊的 metric, 但是微分流形仍然没被选择出来
纤维丛的情况也类似, 值域及其对称性选择在一般情况下似乎都不确定
Example
homogeneous space
frame bundle
一些纤维丛直观启发自具体的对称空间相关的具体三元组 作为纤维丛
Ehresmann connection
切丛的联络算是平移结构的推广, 线索是, 据说保持切丛联络的微分同胚的最高维数就是仿射群的维数. 联络的一种理解方式是 Ehresmann 联络, 作为对二阶切丛 的竖直水平分解, 其中水平部分可能就是平移 时切空间的 "平行移动" 的推广 (从而也不仅仅只有平移而已), 以无穷小的方式, 表明当在无穷小地变化时, 为了让联络或者与之相联系的 上的向量场生成的是切丛 的局部切丛自同构而不是一般的 的局部微分同胚, 还需要让这种分解对竖直部分是线性的, 或者说整个纤维空间的变换是 的
设 为切向量场，其微分 将 映为 . connection 给出到竖直子丛投影 (到竖直子丛)，然后在竖直子丛到切丛的标准同构之后, 得到协变导数 . connection 被称为 flat 的, 如果满足以下等价条件
- connection 使得水平子丛 是 可积的
- 曲率是零
- 存在局部坐标系, , 也即这个坐标系下, 联络系数是零, 协变导数是坐标导数
测地线的概念比联络更弱, 测地线只取决于联络的对称部分
"整个纤维空间在 "平行移动" 下的变换是 的" 可以推广到其它的非切丛纤维丛. 例如, 规范理论中存在整个纤维空间在平行移动下的变换是 的. 或者考虑李群 作用/表示在一个纤维流形 , 则有整个纤维空间在平行移动下的变换是 作用在 上. 这些都可以 reduce to 主丛 — 作用在纤维 上 — 及其作用/表示丛. flat connection 的概念也适用