note-math

可能以后会迁移到 principal-bundle-connection?

cf. #link(<motivation-of-gauge-field>)[]

有很多可能的联络

有无法 local flat 的联络, 对任意的局部, 都无法通过改变规范消去联络场

类似于 #link(<flat-metric-iff-curvature-0>)[]

存在局部丛坐标 or 相位, 其中联络是零 $𝐴 = 0$ <==> 曲率是零 $𝐹_{𝑖 𝑖^{'}} = [𝐷_{𝑖}, 𝐷_{𝑖^{'}}] = 0$ where $𝐷 = 𝑑 + 𝐴$ , 在坐标中 $𝐹_{𝑖 𝑖^{'}} = \partial_{𝑖} 𝐴_{𝑖^{'}} - \partial_{𝑖^{'}} 𝐴_{𝑖} + [𝐴_{𝑖}, 𝐴_{𝑖^{'}}]$

不存在 flat connection 坐标时, 则选取基于 metric-volume-form 的 $𝐿^{2}$ 最小曲率

Example

$U (1)$ 的情况. $𝐴$ 是 $u (1)$ 值, 是交换的 $[𝐴, 𝐴^{'}] = 0$ , 此时 $𝐹 = 𝑑 𝐴$ , 在坐标中 $𝐹_{𝑖 𝑗} = \partial_{𝑖} 𝐴_{𝑗} - \partial_{𝑗} 𝐴_{𝑖}$

从局部 flat-connection 坐标 $𝐴^{'} = 0$ 转换到一般坐标给出 PDE

𝐴 = 𝑑 𝜃

PDE 可解条件 $0 = 𝐹 = 𝑑 𝐴$

从 PDE 的解 $𝐴 = 𝑑 𝜃$ , 积分给出 $𝜃$ 和相位变换 $𝑒^{𝜃}$

electromagnetic-field_(tag)

在 $ℝ^{1, 3}$

有很多可能的联络, 用曲率最小来选择

注意 $Vol$ 意味着这个作用量的定义需要时空 metric

\int 𝑑 Vol | 𝐹 |^{2}

𝑑^{†} 𝑑 𝐴 = 0

在坐标中

\begin{matrix} \sum_{𝑖} \partial_{𝑖} (\partial_{𝑖} 𝐴_{𝑗} - \partial_{𝑗} 𝐴_{𝑖}) & = & 0 \\ or & \sum_{𝑖} \partial_{𝑖} 𝐹_{𝑖 𝑗} & = & 0 \end{matrix}

在时空分解坐标

𝐹 = 𝐸_{𝑖} (𝑑 𝑡 \land 𝑑 𝑥^{𝑖}) - 𝐵_{𝑖 𝑗} (𝑑 𝑥^{𝑖} \land 𝑑 𝑥^{𝑗}) with 1 \leq 𝑖 < 𝑗 \leq 3

当然这种分解方式不是 $SO (1, 3)$ invariant 的

Question 如何让 $\sum_{𝑖} \partial_{𝑖} (\partial_{𝑖} 𝐴_{𝑗} - \partial_{𝑗} 𝐴_{𝑖}) = 0$ 显然地蕴含电磁场 $𝐸, 𝐵$ 的方程的 $div, curl$ 形式? Maxwell-equation_(tag)

\begin{matrix} div 𝐵 & = & 0 & \partial_{𝑡} 𝐵 + curl 𝐸 & = & 0 \\ div 𝐸 & = & 𝜌 & - \partial_{𝑡} 𝐸 + curl 𝐵 & = & 𝑗 \end{matrix}

也有

\begin{matrix} 𝐸 & = & - (\partial_{𝑡} A + grad ϕ) \\ 𝐵 & = & curl A \end{matrix}

其中 $ϕ = 𝐴 . time, A = 𝐴 . space$

注意, $curl, div$ 和 $ℝ^{3}$ 外微分和 $ℝ^{3}$ Hodge star 有联系. $𝑑^{†} \sim ⋆ 𝑑 ⋆$ 也能和 Hodge star 产生联系. 可能联系到时空分解坐标中, Hodge star 在空间 $ℝ^{3} \subset ℝ^{1, 3}$ 的行为. $⋆ (𝑑 𝑥^{𝑖} \land 𝑑 𝑥^{𝑗}) = \pm 𝑑 𝑡 \land 𝑑 𝑥^{𝑘}$

注意 Hodge star 需要 metric

使用特殊的规范 Lorentz-gauge_(tag) $𝑑^{†} 𝐴 = 0$ , 方程 $𝑑^{†} 𝑑 𝐴 = 0$ 变为

0 = (𝑑^{†} 𝑑 + 𝑑 𝑑^{†}) 𝐴 = ∆ 𝐴 = 𝜂^{𝑖 𝑖^{'}} \partial_{𝑖} \partial_{𝑖^{'}} 𝐴