note-math

quadratic-form_(tag) $ℝ^{𝑛}$ 二次型 alias metric_(tag) 度规 alias 内积 inner-product_(tag)

Example $ℝ^{2}, ℝ^{3}$ 距离 $(\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑦 \\ 𝑧 \end{matrix}) ⇝ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2}$

Example $ℝ^{1, 3}$ spacetime metric $(\begin{matrix} 𝑡 \\ 𝑥 \\ 𝑦 \\ 𝑧 \end{matrix}) ⇝ 𝑐^{2} \cdot 𝑡^{2} - (𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2})$

双线性函数, 二次型

metric 常用记号 $𝑔 (𝑥, 𝑦), ⟨ 𝑥, 𝑦 ⟩$ . 在坐标中记为 $𝑔_{𝑖 𝑗} 𝑥_{𝑖} 𝑦_{𝑗}$

坐标下 metric $𝑔$ 可以表示为矩阵 $𝐺$ 和矩阵乘法 $(𝑋, 𝑌) ⇝ 𝑋^{⊺} 𝐺 𝑌$

signature-inertial_(tag) signature $(𝑝, 𝑞)$ 在 $GL (𝑛, ℝ)$ 下不变. 对称矩阵 $𝐺$ 的特征值和对角化 $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$ 其中 $𝑛_{+}$ 个 $1$ , $𝑛_{0}$ 个 $0$ , $𝑛_{-}$ 个 $- 1$ . 可以理解为群作用的 orbit 分类

quadratic-form-non-degenerated_(tag) 非退化 := signature 中 $𝑁_{0} = 0$

退化的二次型可以限制在 $𝑛_{+} + 𝑛_{-}$ 子空间中得到非退化

以下等价

metric 非退化
quadratic-form-dual_(tag) 是双射
$\begin{matrix} 𝑉 & ⟶ & Lin (𝑉 \to ℝ) or 𝑉^{⊺} \\ 𝑣 & ⟿ & ⟨ 𝑣, ⟩ or ⟨ 𝑣 | or 𝑔 (𝑣,) or 𝑣^{♭} \end{matrix}$
相对于 metric dual 映射记为 $𝑣^{♭}$ , metric dual 的逆映射记为 $𝛼^{♯}$
二次型矩阵可逆
$det 𝐺 \neq 0$

固定一个非退化二次型时, 结构群 $≃ O (𝑝, 𝑞)$ . 保持两个方向就得到 $SO (𝑝, 𝑞)$

metric 矩阵 $𝑔$ 的逆 $𝑔^{- 1}$ . 在坐标中记为 $𝑔 ⇝ 𝑔_{𝑖 𝑖^{'}}$ 和 $𝑔^{- 1} ⇝ 𝑔^{𝑖 𝑖^{'}}$

$𝑔 \cdot 𝑔^{- 1} = 𝟙 = 𝑔^{- 1} \cdot 𝑔$ ==> 在坐标中 $𝑔_{𝑖 𝑗} 𝑔^{𝑖^{'} 𝑗} = 𝛿_{𝑖}^{𝑖^{'}} = 𝑔^{𝑖^{'} 𝑗} 𝑔_{𝑖 𝑗}$

let 向量空间的基 $𝑒_{1}, \dots, 𝑒_{𝑛} \in 𝑉$ 的对偶基 $𝑒^{1}, \dots, 𝑒^{𝑛} \in (𝑉 \to ℝ)$ := $𝑒^{𝑖} (𝑒_{𝑗}) = 𝛿_{𝑗}^{𝑖}$

let $𝛼 = 𝛼_{𝑖} 𝑒^{𝑖}$ then

\begin{matrix} 𝛼 (𝑒_{𝑗}) & = & 𝛼_{𝑖} 𝑒^{𝑖} (𝑒_{𝑗}) \\ = & 𝛼_{𝑖} 𝛿_{𝑗}^{𝑖} \\ = & 𝛼_{𝑗} \end{matrix}

rasing-and-lowring-index_(tag) 升降指标

quadratic-form-dual 在坐标中的矩阵表示

\begin{matrix} 𝑔 (𝑣,) ⇝ 𝑣^{⊺} 𝑔 & = & (\begin{matrix} 𝑣^{1} & \dots & 𝑣^{𝑛} \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑔_{11} & \dots & 𝑔_{1 𝑛} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 𝑔_{𝑛 1} & \dots & 𝑔_{𝑛 𝑛} \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 𝑣^{𝑗} 𝑔_{𝑗 1} & \dots & 𝑣^{𝑗} 𝑔_{𝑗 𝑛} \end{matrix}) ≔ (\begin{matrix} 𝑣_{1} & \dots & 𝑣_{𝑛} \end{matrix}) \end{matrix}

其中 $𝑣^{𝑗} 𝑔_{𝑖 𝑗} = 𝑣_{𝑖}$ 是降指标. 或者

\begin{matrix} 𝑔 (, 𝑣) ⇝ 𝑔 𝑣 & = & (\begin{matrix} 𝑔_{11} & \dots & 𝑔_{1 𝑛} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 𝑔_{𝑛 1} & \dots & 𝑔_{𝑛 𝑛} \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑣^{1} \\ ⋮ \\ 𝑣^{𝑛} \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 𝑣^{𝑗} 𝑔_{1 𝑗} \\ ⋮ \\ 𝑣^{𝑗} 𝑔_{𝑛 𝑗} \end{matrix}) ≔ (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ ⋮ \\ 𝑣_{𝑛} \end{matrix}) \end{matrix}

注意 metric 矩阵是对称 $𝑔^{⊺} = 𝑔$ or $𝑔_{𝑖 𝑗} = 𝑔_{𝑗 𝑖}$

$𝑣_{𝑖}$ 是 $𝑣^{♭}$ 的对偶基表示的系数, 因为 $𝑔 (𝑣, 𝑒_{𝑖}) = 𝑣^{𝑗} 𝑔_{𝑖 𝑗} = 𝑣_{𝑖}$ , 或者用 $𝑔_{𝑖 𝑗}$ 是 $𝑔$ 在对偶基 $𝑒^{𝑖} \otimes 𝑒^{𝑗}$ 的系数

对于 metric 矩阵的逆, 定义 dual 空间 $𝑉^{⊺}$ 的 metric $𝑔^{- 1}$ , 满足

\begin{matrix} 𝑔^{- 1} (𝑣^{♭}, 𝑤^{♭}) & = & {(𝑔 𝑣)}^{⊺} 𝑔^{- 1} (𝑔 𝑤) \\ = & 𝑣^{⊺} (𝑔 𝑔^{- 1} 𝑔) 𝑤 \\ = & 𝑣^{⊺} 𝑔 𝑤 \\ = & 𝑔 (𝑣, 𝑤) \end{matrix}

在坐标中

$𝑔^{𝑖 𝑖^{'}} 𝛼_{𝑖} 𝛽_{𝑖^{'}}$
$𝑔_{𝑖 𝑖^{'}} 𝛼^{𝑖} 𝛽^{𝑖^{'}}$
$𝛼_{𝑖} 𝛽^{𝑖}$
$𝛼^{𝑖} 𝛽_{𝑖}$

$𝑔^{- 1}$ 的 metric dual 就是 $𝑔$ metric dual $♭$ 的逆 $♯$

\begin{matrix} 𝑣 & ⇝ & 𝑔 𝑣 \\ ⇝ & 𝑔^{- 1} 𝑔 𝑣 \\ = & 𝑣 \end{matrix}

因此也有升指标 $𝑔^{- 1} (𝑣^{♭}, 𝑒_{𝑗}) = 𝑣_{𝑗} 𝑔^{𝑖 𝑗} = 𝑣^{𝑖}$

也可以反过来, 从 $𝑏$ 的逆 $♯$ 出发, 证明它是 $𝑉^{⊺}$ 的某个 metric 的 metric dual, 且这个 metric 在矩阵表示下是 $𝑔^{- 1}$

metric $𝑔^{- 1} = 𝑔^{𝑖 𝑗} 𝑒_{𝑖} 𝑒_{𝑗}$ 在 ${(𝑉^{⊺ ⊙ 2})}^{⊺}$ 的 metric 下的 metric dual 是 $𝑔 = 𝑔_{𝑖 𝑗} 𝑒^{𝑖} 𝑒^{𝑗} \in {(𝑉^{⊙ 2})}^{⊺}$ . 反过来也一样

tensor_(tag) 多重线性 (兼容集合积的 and 逻辑) + 最小独立无关 (生成基)

\begin{matrix} 𝑉_{1} \times \dots \times 𝑉_{𝑘} & ⟶ & 𝑉_{1} \otimes \dots \otimes 𝑉_{𝑘} \\ (𝑣_{1}, \dots, 𝑣_{𝑘}) & ⟿ & 𝑣_{1} \otimes \dots \otimes 𝑣_{𝑘} \end{matrix}

导出基 $𝑒_{1, 𝑖_{1}} \otimes \dots \otimes 𝑒_{𝑘, 𝑖_{𝑘}}$ 与导出基的系数 $𝑇^{𝑖_{1} \dots 𝑖_{𝑘}}$

由张量的性质

\begin{matrix} 𝑣_{1} \otimes \dots \otimes 𝑣_{𝑘} & = & (𝑣_{1}^{𝑖_{1}} 𝑒_{1, 𝑖_{1}}) \otimes \dots \otimes (𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}} 𝑒_{𝑘, 𝑖_{𝑘}}) \\ = & (𝑣_{1}^{𝑖_{1}} \dots 𝑣_{𝑘}^{𝑖_{𝑘}}) 𝑒_{1, 𝑖_{1}} \otimes \dots \otimes 𝑒_{𝑘, 𝑖_{𝑘}} \end{matrix}

tensor-induced-quadratic-form_(tag)

将向量空间的二次型 $𝑔$ 导出到张量空间 $𝑉^{\otimes 𝐼} \otimes 𝑉^{⊺ \otimes 𝐽}$ 的二次型

𝑔 (⨂_{𝑖 = 1 . . 𝐼} 𝑣_{𝑖} \otimes ⨂_{𝑗 = 1 . . 𝑗} 𝛼_{𝑗}, ⨂_{𝑖 = 1 . . 𝐼} 𝑤_{𝑖} \otimes ⨂_{𝑗 = 1 . . 𝑗} 𝛽_{𝑗}) = \prod_{𝑖 = 1 . . 𝐼} 𝑔 (𝑣_{𝑖}, 𝑤_{𝑖}) \prod_{𝑖 = 1 . . 𝐽} 𝑔^{- 1} (𝛼_{𝑗}, 𝛽_{𝑗})

遍历所有正交基 $⨂_{𝑖 = 1 . . 𝐼} 𝑒_{𝑘_{𝑖}} \otimes ⨂_{𝑗 = 1 . . 𝐽} 𝑒^{𝑙_{𝑗}}$ with

{⟨ ⨂_{𝑖 = 1 . . 𝐼} 𝑒_{𝑘_{𝑖}} \otimes ⨂_{𝑗 = 1 . . 𝐽} 𝑒^{𝑙_{𝑗}} ⟩}^{2} = \prod_{𝑖 = 1 . . 𝐼} {⟨ 𝑒_{𝑘_{𝑖}} ⟩}^{2} \prod_{𝑗 = 1 . . 𝐽} {⟨ 𝑒^{𝑙_{𝑗}} ⟩}^{2}

得到 signature

rasing-and-lowring-index-tensor_(tag) 张量也可以 metric dual 升降指标

Example 降指标 $𝑇_{𝑗}^{𝑖} ⇝ 𝑔_{𝑖 𝑖^{'}} 𝑇_{𝑗}^{𝑖^{'}} = 𝑇_{𝑖 𝑗}$