双射 形成群
映射是结合的
可以随意后置复合和前置复合, or
非结合的八元数乘法的作用的复合并不能表示为乘法
双射作用在某个 的结构上时, 有保持结构的结构群, 是 的子群
Example 保持 线性结构
let 是 的子群. let
[group-action]
[orbit] :=
Example 作用在 , orbit
[isotropy] :=
Example 作用在 , isotropy = 绕 所在轴的旋转, 是嵌入的
是 的子群. a map that fix a point 组成 的子群, 是 作用群与这个 fix 映射子群的交集
换 orbit 基点 后的 isotropy
映射
- 同态
- 双射
[isotropy-in-same-orbit-is-isom] 的 isotropy 写为 , 同构于
根据 作用在 上的逆像, 将 分解为子群 及其 coset
计算 的逆像
[orbit-istropy-theorem] 存在双射
所以
set of cosets 同构于 orbit . so which
Example let 有限群, let . 是有限集且是子群. 存在最小的 使得 , 从而 . 让群 作用于 coset 空间 , isotropy , 于是 or 被 整除
换 orbit 基点. forall ==>
Proof
是双射. (可逆.) 所以
[decomposition-into-orbit] Proof
逆否命题
只需要证明 <==
但我们已经证明过
Example , 不同 orbit 就是不同半径的球面
orbit 的集合 :=
[Burnside-theorem] …
[conjugate-action] 共轭作用
as 对任意被作用的空间 换坐标 导致的 作用的坐标的变换
Example 线性映射在不同坐标的表示. 流形的映射在不同坐标的表示
共轭作用的 orbit 称为 [conjugate-class]
Example 置换的 conjugate-class 是循环
交换子 [commutator]
[action-surjective] alias [action-transitive] := 以下定义等价
- 是满射
Example 作用在 不 transitive. 作用在 是 transitive
[action-injective] alias [action-free] := 以下定义等价
- 每个 orbit 都是 的 copy
- 是单射