ๅๅฐ ๅฝขๆ็พค
ๆ ๅฐๆฏ็ปๅ็
ๅฏไปฅ้ๆๅ็ฝฎๅคๅๅๅ็ฝฎๅคๅ, or
้็ปๅ็ๅ
ซๅ
ๆฐไนๆณ็ไฝ็จ็ๅคๅๅนถไธ่ฝ่กจ็คบไธบไนๆณ
ๅๅฐไฝ็จๅจๆไธช ็็ปๆไธๆถ, ๆไฟๆ็ปๆ็็ปๆ็พค, ๆฏ ็ๅญ็พค
Example ไฟๆ #link(<linear>)[็บฟๆง็ปๆ]
let ๆฏ ็ๅญ็พค. let
group-action_(tag)
orbit_(tag) :=
Example ไฝ็จๅจ , orbit
isotropy_(tag) :=
Example ไฝ็จๅจ , isotropy = ็ป ๆๅจ่ฝด็ๆ่ฝฌ, ๆฏๅตๅ
ฅ็
ๆฏ ็ๅญ็พค. a map that fix a point ็ปๆ ็ๅญ็พค, ๆฏ ไฝ็จ็พคไธ่ฟไธช fix ๆ ๅฐๅญ็พค็ไบค้
ๆข orbit ๅบ็น ๅ็ isotropy
ๆ ๅฐ
- ๅๆ
- ๅๅฐ
isotropy-in-same-orbit-is-isom_(tag) ็ isotropy ๅไธบ , ๅๆไบ
ๆ นๆฎ ไฝ็จๅจ ไธ็้ๅ, ๅฐ ๅ่งฃไธบๅญ็พค ๅๅ
ถ coset
่ฎก็ฎ ็้ๅ
orbit-istropy-theorem_(tag) ๅญๅจๅๅฐ
ๆไปฅ
set of cosets ๅๆไบ orbit . so which
Example let ๆ้็พค, let . ๆฏๆ้้ไธๆฏๅญ็พค. ๅญๅจๆๅฐ็ ไฝฟๅพ , ไป่ . ่ฎฉ็พค ไฝ็จไบ coset ็ฉบ้ด , isotropy , ไบๆฏ or ่ขซ ๆด้ค
ๆข orbit ๅบ็น. forall ==>
Proof
ๆฏๅๅฐ. (ๅฏ้.) ๆไปฅ
decomposition-into-orbit_(tag) Proof
้ๅฆๅฝ้ข
ๅช้่ฆ่ฏๆ <==
ไฝๆไปฌๅทฒ็ป่ฏๆ่ฟ
Example , ไธๅ orbit ๅฐฑๆฏไธๅๅๅพ็็้ข
orbit ็้ๅ :=
Burnside-theorem_(tag) โฆ
conjugate-action_(tag) ๅ
ฑ่ฝญไฝ็จ
as ๅฏนไปปๆ่ขซไฝ็จ็็ฉบ้ด ๆขๅๆ ๅฏผ่ด็ ไฝ็จ็ๅๆ ็ๅๆข
Example ็บฟๆงๆ ๅฐๅจไธๅๅๆ ็่กจ็คบ. ๆตๅฝข็ๆ ๅฐๅจไธๅๅๆ ็่กจ็คบ
ๅ
ฑ่ฝญไฝ็จ็ orbit ็งฐไธบ conjugate-class_(tag)
Example ็ฝฎๆข็ conjugate-class ๆฏๅพช็ฏ
ไบคๆขๅญ commutator_(tag)
action-surjective_(tag) alias action-transitive_(tag) := ไปฅไธๅฎไน็ญไปท
- ๆฏๆปกๅฐ
Example ไฝ็จๅจ ไธ transitive. ไฝ็จๅจ ๆฏ transitive
action-injective_(tag) alias action-free_(tag) := ไปฅไธๅฎไน็ญไปท
- ๆฏไธช orbit ้ฝๆฏ ็ copy
- ๆฏๅๅฐ