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  115. 94. 相对论点粒子
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  117. 96. 纯量场的守恒流
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  121. 100. Lorentz 群
  122. 101. 旋量场
  123. 102. 旋量场的守恒流
  124. 103. 电磁场
  125. 104. 张量场的 Laplacian
  126. 105. Einstein 度规
  127. 106. 相互作用
  128. 107. 谐振子量子化
  129. 108. 旋量场杂项
  130. 109. 参考

note-math

[complex-number] 复数.

加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律

复数 or 的来源

  • 谐振子 ODE 的特征方程

  • 复数的另一种动机来自多项式的因子分解. 实多项式分解能够完全为 或 的形式的相乘, 而后者能在 中分解为 的形式, 特别地, . 于是为了方便, 可以选择使用复数.

    你仍然可以选择认为这只是一种代数方便, 不需要复数的几何

    但是在下面的 split complex 中却无法分解 为一阶多项式. 甚至 有四个根, 除了 , 多了两个根

Eaxmple [split-complex-number] 分裂复数.

加法和 相同. 乘法使用 or 和分配律

也参见 复数的直观解释, 了解单位复数乘法和 的旋转 的关系

[normed-division-algebra]

有二次型 , 有乘法 , 且单位 (二次型) 距离的元素 的乘法 也是单位距离的

将单位距离和 纯量乘法结合起来后, 这种性质可以表示为

  • 对应

by

  • 对应

by

null elements 没有乘法逆

[quaternion]

从 或 开始 , 加入新的虚数元

  • 定义其它虚数元

  • 不同虚数元反交换

  • 虚数元共轭取反 or

这使得

  • 虚数元乘法结合
  • 满足 norm 乘法

  • 如果是从 开始, , 于是
  • 如果是从 开始, , 于是

  • give

  • give

Eaxmple [octonion] 在 (其中 ) 中使用新的虚数元

定义其它虚数元

不同虚数元反交换

不同虚数元反结合 如果

虚数元共轭取反

这使得

  • norm 乘法

同理, 根据 和 给出 octonion for 或 split octonion for

  • give

  • give

从 和虚数元结合律得到的是另一种代数 , 不满足

[imaginary-automorphism] 新虚数元构造方法并不是无坐标的, 所以我们需要考虑虚数元的 automorphism with . 由于保持乘法, 所以自动保持距离

Example for it’s symmetric

Question (ref-21, p.35) (ref-22, p.85)

  • for
  • for .

as automorphism of 说明了, 没有额外的结构, 例如乘法 和 , 只有单纯的线性空间结构, 无法给出 之类的特殊群. (虽然据说所有 compact group 都能存在矩阵表示.)

[problem-of-quaternionic-linear]

尝试给 定义线性代数. 我们立刻遇到问题: 线性映射的一种定义是作为线性空间之间的同态, 但由于 非交换, 纯量乘法不能随便和同一边的矩阵乘法交换 , 从而 的矩阵乘法不是线性变换

所以, “线性结构” 定义为, 例如, 左边矩阵乘法作为线性映射 , 右边纯量乘法 , 使得线性映射是线性结构的同态 .